《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

课时构建 填写对数函数$y=\log_{a}x(a＞0$,且$a≠1)$的性质：
定义域______，值域______，单调性（$a＞1$时______，$0＜a＜1$时______），最值______，奇偶性______，共点性（图象过定点______），函数值特点（当$a＞1$，$x\in(0,1)$时$y\in$______；$x\in[1,+\infty)$时$y\in$______；当$0＜a＜1$，$x\in(0,1)$时$y\in$______；$x\in[1,+\infty)$时$y\in$______），图象对称性（函数$y=\log_{a}x$与$y=\log_{\frac{1}{a}}x$的图象关于______对称）。

答案： 定义域$(0,+\infty)$，值域$\mathbf{R}$，单调性（$a＞1$时增函数，$0＜a＜1$时减函数），最值无，奇偶性非奇非偶，共点性$(1,0)$，函数值特点（当$a＞1$，$x\in(0,1)$时$y\in(-\infty,0)$；$x\in[1,+\infty)$时$y\in[0,+\infty)$；当$0＜a＜1$，$x\in(0,1)$时$y\in(0,+\infty)$；$x\in[1,+\infty)$时$y\in(-\infty,0]$），图象对称性$x$轴。

（2）若函数$y=a^{x}(a＞0$，且$a≠1)$的图象过点$(\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，则函数$y=\log_{a}|x|$的大致图象是（ ）
A. ＜图＞
B. ＜图＞
C. ＜图＞
D. ＜图＞

答案： D
解析：函数$y=a^{x}$过点$(\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，则$a^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$，解得$a=(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{9}$，所以$y=\log_{\frac{1}{9}}|x|$。该函数为偶函数，当$x＞0$时，$y=\log_{\frac{1}{9}}x$单调递减，且过点$(1,0)$，图象关于$y$轴对称，符合选项D。