《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例3 已知$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=4$，求下列各式的值：（1）$a + a^{-1}$．（2）$a^{\frac{1}{4}}+a^{-\frac{1}{4}}$．（3）$\frac{a^{\frac{3}{2}}-a^{-\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}}$．
活学活用 已知$x + y = 12$，$xy = 9$且$x ＜ y$，求$\frac{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}$的值．

答案： 例3（1）14；（2）$\sqrt{18}$；（3）15；活学活用$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
解析：
例3（1）$(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^{2}=a + 2 + a^{-1}=16$，故$a + a^{-1}=14$．
（2）设$t=a^{\frac{1}{4}}+a^{-\frac{1}{4}}$，则$t^{2}=a^{\frac{1}{2}}+2 + a^{-\frac{1}{2}}=4 + 2=6$，$t=\sqrt{6}$，原答案$\sqrt{18}$错误，应为$\sqrt{6}$．
（3）分子$a^{\frac{3}{2}}-a^{-\frac{3}{2}}=(a^{\frac{1}{2}})^{3}-(a^{-\frac{1}{2}})^{3}=(a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}})(a + 1 + a^{-1})$，故原式$=a + 1 + a^{-1}=14 + 1=15$．
活学活用：$\left(\frac{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}\right)^{2}=\frac{x + y - 2\sqrt{xy}}{x + y + 2\sqrt{xy}}=\frac{12 - 2×3}{12 + 2×3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，因为$x ＜ y$，所以$x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}} ＜ 0$，原式$=-\frac{\sqrt{3}}{3}$．