《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

课时构建：并集的文字语言：一般地，由所有属于集合$A$______属于集合$B$的元素组成的集合，称为集合$A$与$B$的______。符号语言：$A\cup B=$______。并集的性质：①$A\cup A=$______，$A\cup \varnothing=$______，$A\cup B = B\cup A$。②$A\subseteq (A\cup B)$，$B\subseteq (A\cup B)$。③$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B = B$。交集的文字语言：一般地，由所有属于集合$A$______属于集合$B$的元素组成的集合，称为集合$A$与$B$的______。符号语言：$A\cap B=$______。交集的性质：①$A\cap A=$______，$A\cap \varnothing=$______，$A\cap B = B\cap A$。②$(A\cap B)\subseteq A$，$(A\cap B)\subseteq B$，$(A\cap B)\subseteq (A\cup B)$。

答案： 并集的文字语言：或；并集。符号语言：$\{x|x∈A 或 x∈B\}$。性质①：$A$；$A$。交集的文字语言：且；交集。符号语言：$\{x|x∈A 且 x∈B\}$。性质①：$A$；$\varnothing$。

例1 (1)已知集合$A = \{0,2,4\},B = \{x|-1 ＜ x ＜ 2,x∈Z\}$,则$A\cup B=$（ ）
A.$\{0\}$
B.$\{2,4\}$
C.$\{0,1,2,4\}$
D.$\{-1,0,1,2,4\}$

答案： C
解析：$B = \{x|-1 ＜ x ＜ 2,x∈Z\} = \{0, 1\}$，所以$A\cup B = \{0, 1, 2, 4\}$，答案选C。

(2)已知集合$A = \{x|0 ＜ x ＜ 2\},B = \{x|\frac{1}{x - 1} ＞ 0\}$,则$A\cup B=$（ ）
A.$\{x|0 ＜ x ＜ 2\}$
B.$\{x|1 ＜ x ＜ 2\}$
C.$\{x|x ＞ 0\}$
D.$\{x|x ＞ 1\}$

答案： C
解析：$B = \{x|\frac{1}{x - 1} ＞ 0\} = \{x|x ＞ 1\}$，所以$A\cup B = \{x|0 ＜ x ＜ 2 或 x ＞ 1\} = \{x|x ＞ 0\}$，答案选C。

活学活用：(1)已知集合$P = \{x|1 ＜ x ＜ 3\},Q = \{y|2 ＜ y ＜ 4\}$,则$P\cup Q=$（ ）
A.$\{x|1 ＜ x ＜ 2\}$
B.$\{x|2 ＜ x ＜ 3\}$
C.$\{x|1 ＜ x ＜ 4\}$
D.$\varnothing$

答案： C
解析：集合$P$和$Q$都是数集，$P = \{x|1 ＜ x ＜ 3\}$，$Q = \{y|2 ＜ y ＜ 4\}$，所以$P\cup Q = \{x|1 ＜ x ＜ 4\}$，答案选C。

(2)[多选题]已知集合$A = \{2,3,4\}$,集合$A\cup B = \{1,2,3,4,5\}$,则集合$B$可能为（ ）
A.$\{1,2,5\}$
B.$\{2,3,5\}$
C.$\{0,1,5\}$
D.$\{1,2,3,4,5\}$

答案： AD
解析：$A\cup B = \{1,2,3,4,5\}$，$A = \{2,3,4\}$，所以$B$中必须含有1和5，且可以含有$A$中的元素。选项A：$\{1,2,5\}$，$A\cup B = \{1,2,3,4,5\}$，正确。选项B：$\{2,3,5\}$，不含1，$A\cup B = \{2,3,4,5\}$，错误。选项C：$\{0,1,5\}$，含0，$A\cup B = \{0,1,2,3,4,5\}$，错误。选项D：$\{1,2,3,4,5\}$，$A\cup B = \{1,2,3,4,5\}$，正确。答案选AD。