《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

对于实数$a$,$b$,$c$,下列命题中的真命题是（ ）
A.若$a ＞ b$,则$ac^{2}＞ bc^{2}$
B.若$a ＞ b ＞ 0$,则$\dfrac{1}{a}＞\dfrac{1}{b}$
C.若$a ＜ b ＜ 0$,则$\dfrac{b}{a}＞\dfrac{a}{b}$
D.若$a ＞ b$,$\dfrac{1}{a}＞\dfrac{1}{b}$,则$a ＞ 0$,$b ＜ 0$

答案： D
解析：A.当$c=0$时，$ac^{2}=bc^{2}=0$，所以A是假命题。
B.因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$\dfrac{1}{a} ＜ \dfrac{1}{b}$，所以B是假命题。
C.若$a=-3$，$b=-2$，则$\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}$，$\dfrac{b}{a} ＜ \dfrac{a}{b}$，所以C是假命题。
D.因为$a ＞ b$，$\dfrac{1}{a}＞\dfrac{1}{b}$，所以$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b - a}{ab} ＞ 0$，又$b - a ＜ 0$，所以$ab ＜ 0$，则$a ＞ 0$，$b ＜ 0$，所以D是真命题。答案选D。

下列命题是真命题的是（ ）
A.若$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}$,则$x = y$
B.若$x^{2}=4$,则$x = 2$
C.若$m = n$,则$\sqrt{m}=\sqrt{n}$
D.若$m ＜ n$,则$m^{2}＜ n^{2}$

答案： A
解析：A.若$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}$，则$x = y$（$x$，$yeq 0$），所以A是真命题。
B.若$x^{2}=4$，则$x=\pm 2$，所以B是假命题。
C.当$m = n=-1$时，$\sqrt{m}$，$\sqrt{n}$无意义，所以C是假命题。
D.当$m=-3$，$n=1$时，$m ＜ n$，但$m^{2}=9 ＞ n^{2}=1$，所以D是假命题。答案选A。

[多选题]若$a ＞ b ＞ 0$,则下列不等式成立的是（ ）
A.$\dfrac{1}{a}＜\dfrac{1}{b}$
B.$\dfrac{b}{a}＞\dfrac{b + 1}{a + 1}$
C.$a+\dfrac{1}{b}＞b+\dfrac{1}{a}$
D.$a+\dfrac{1}{a}＞b+\dfrac{1}{b}$

答案： AC
解析：A.因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$\dfrac{1}{a} ＜ \dfrac{1}{b}$，A正确。
B.$\dfrac{b}{a}-\dfrac{b + 1}{a + 1}=\dfrac{b(a + 1)-a(b + 1)}{a(a + 1)}=\dfrac{b - a}{a(a + 1)} ＜ 0$，所以$\dfrac{b}{a} ＜ \dfrac{b + 1}{a + 1}$，B错误。
C.$a+\dfrac{1}{b}-b-\dfrac{1}{a}=(a - b)+\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\right)=(a - b)+\dfrac{a - b}{ab}=(a - b)\left(1+\dfrac{1}{ab}\right) ＞ 0$，所以$a+\dfrac{1}{b} ＞ b+\dfrac{1}{a}$，C正确。
D.当$a=2$，$b=1$时，$a+\dfrac{1}{a}=2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$，$b+\dfrac{1}{b}=1 + 1=2$，$\dfrac{5}{2} ＞ 2$；当$a=\dfrac{1}{2}$，$b=\dfrac{1}{3}$时，$a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}$，$b+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{10}{3}$，$\dfrac{5}{2} ＜ \dfrac{10}{3}$，所以D错误。答案选AC。

若$bc - ad\geqslant 0$,$bd ＞ 0$,求证:$\dfrac{a + b}{b}\leqslant \dfrac{c + d}{d}.$

答案： 证明：因为$bd ＞ 0$，所以$\dfrac{1}{bd} ＞ 0$。由$bc - ad\geqslant 0$，得$\dfrac{bc}{bd}-\dfrac{ad}{bd}\geqslant 0$，即$\dfrac{c}{d}-\dfrac{a}{b}\geqslant 0$，所以$\dfrac{c}{d}\geqslant \dfrac{a}{b}$，两边同时加$1$得$\dfrac{a}{b}+1\leqslant \dfrac{c}{d}+1$，即$\dfrac{a + b}{b}\leqslant \dfrac{c + d}{d}$。

已知实数$a$,$b$满足$- 3\leqslant a + b\leqslant 2$,$- 1\leqslant a - b\leqslant 4$.
(1)求实数$a$,$b$的取值范围.
(2)求$3a - 2b$的取值范围.

答案：
(1)$- 2\leqslant a\leqslant 3$，$- \dfrac{7}{2}\leqslant b\leqslant 1$；
(2)$- \dfrac{13}{2}\leqslant 3a - 2b\leqslant 11$
解析：
(1)设$a=\dfrac{(a + b)+(a - b)}{2}$，$b=\dfrac{(a + b)-(a - b)}{2}$。因为$- 3\leqslant a + b\leqslant 2$，$- 1\leqslant a - b\leqslant 4$，所以$- 2\leqslant a\leqslant 3$，$- \dfrac{7}{2}\leqslant b\leqslant 1$。
(2)设$3a - 2b=m(a + b)+n(a - b)=(m + n)a + (m - n)b$，则$\begin{cases}m + n=3 \\m - n=- 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{2} \=\dfrac{5}{2}\end{cases}$。所以$3a - 2b=\dfrac{1}{2}(a + b)+\dfrac{5}{2}(a - b)$，因为$- 3\leqslant a + b\leqslant 2$，$- 1\leqslant a - b\leqslant 4$，所以$- \dfrac{3}{2}\leqslant \dfrac{1}{2}(a + b)\leqslant 1$，$- \dfrac{5}{2}\leqslant \dfrac{5}{2}(a - b)\leqslant 10$，两式相加得$- \dfrac{13}{2}\leqslant 3a - 2b\leqslant 11$。