《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

一个面积为$100cm^2$的等腰梯形，上底长为$x cm$，下底长为上底长的3倍，则把它的高$y(cm)$表示成$x$的函数为（ ）
A.$y = 50x(x＞0)$
B.$y = 100x(x＞0)$
C.$y=\frac{50}{x}(x＞0)$
D.$y=\frac{100}{x}(x＞0)$

答案： C
解析：上底长$x$，下底长$3x$，根据梯形面积公式$S=\frac{(上底 + 下底)×高}{2}$，即$100=\frac{(x + 3x)y}{2}$，$100 = 2xy$，解得$y=\frac{50}{x}(x＞0)$，选C。

作出下列函数的图象，并指出其值域。
(1)$y = x^2 + x(-1\leq x\leq1)$。
(2)$y=\frac{2}{x}(-2\leq x\leq1$，且$xeq0)$。

答案：
(1)图象略，值域$[-\frac{1}{4},2]$
解析：$y = x^2 + x=(x + \frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$，$x\in[-1,1]$，当$x=-\frac{1}{2}$时，最小值为$-\frac{1}{4}$；当$x = 1$时，$y=2$，值域为$[-\frac{1}{4},2]$。
(2)图象略，值域$(-\infty,-1]\cup[2,+\infty)$
解析：$y=\frac{2}{x}$在$[-2,0)$上单调递减，$x=-2$时，$y=-1$，所以$y\leq - 1$；在$(0,1]$上单调递减，$x = 1$时，$y = 2$，所以$y\geq2$，值域为$(-\infty,-1]\cup[2,+\infty)$。

作出下列函数的图象：
(1)$y=-\frac{4}{x},x\in[-3,0)\cup(0,1]$。
(2)$y = x^2 + 4x + 1,x\in[-3,0]$。

答案： （1）图象略
解析：在区间$[-3,0)$上，$y=-\frac{4}{x}$，$x=-3$时，$y=\frac{4}{3}$，函数单调递增；在$(0,1]$上，$x = 1$时，$y=-4$，函数单调递增，图象为双曲线的两支。
（2）图象略
解析：$y = x^2 + 4x + 1=(x + 2)^2 - 3$，$x\in[-3,0]$，顶点坐标$(-2,-3)$，当$x=-3$时，$y=(-3 + 2)^2 - 3=1 - 3=-2$；当$x = 0$时，$y=1$，图象为开口向上的抛物线的一部分。

（1）已知一次函数$f(x)$满足$f(-1)=0$，$f(0)=-2$，则$f(x)$的解析式为（ ）
A.$f(x)=2x + 2$
B.$f(x)=-2x - 2$
C.$f(x)=2x - 2$
D.$f(x)=-2x + 2$
（2）已知$f(x)$为二次函数，且满足$f(0)=1$，$f(x - 1)-f(x)=4x$，则$f(x)$的解析式为（ ）
A.$f(x)=-2x^2 - 2x + 1$
B.$f(x)=-2x^2 + 2x + 1$
C.$f(x)=-2x^2 - 2x - 1$
D.$f(x)=2x^2 - 2x + 1$

答案： （1）B
解析：设$f(x)=ax + b$，由$f(-1)=-a + b=0$，$f(0)=b=-2$，解得$a=-2$，$b=-2$，所以$f(x)=-2x - 2$，选B。
（2）A
解析：设$f(x)=ax^2 + bx + c$，$f(0)=c = 1$，$f(x - 1)-f(x)=a(x - 1)^2 + b(x - 1)+1-(ax^2 + bx + 1)=-2ax + a - b=4x$，则$-2a = 4$，$a - b = 0$，解得$a=-2$，$b=-2$，所以$f(x)=-2x^2 - 2x + 1$，选A。