《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用（1）若$a ＜ - 1$，则$\sqrt{(1 + a)^{6}}\cdot\sqrt[3]{(a + 1)^{3}}=$（ ）A．$-(a + 1)^{5}$ B．$(a + 1)^{5}$ C．$-(a + 1)^{6}$ D．$(a + 1)^{6}$
（2）当$\sqrt{-x + 1}$有意义时，化简$\sqrt{x^{2}-8x + 16}-\sqrt{x^{2}-10x + 25}$的结果是（ ）A．$2x - 7$ B．$-2x + 1$ C．$-1$ D．$7 - 2x$
把下列根式化为分数指数幂的形式，把分数指数幂化为根式的形式．（1）$(a - b)^{\frac{2}{3}}(a ＞ b)$．（2）$\sqrt[3]{(x - 1)^{5}}$．（3）$\frac{1}{\sqrt[3]{a^{2}}}(aeq0)$．（4）$(a - b)^{-\frac{4}{3}}$．

答案： （1）A；（2）D；
根式与分数指数幂互化：（1）$\sqrt[3]{(a - b)^{2}}$；（2）$(x - 1)^{\frac{5}{3}}$；（3）$a^{-\frac{2}{3}}$；（4）$\frac{1}{\sqrt[3]{(a - b)^{4}}}$．
解析：
（1）$a ＜ - 1$，$1 + a ＜ 0$，$\sqrt{(1 + a)^{6}}=|1 + a|^{3}=-(1 + a)^{3}$，$\sqrt[3]{(a + 1)^{3}}=a + 1$，乘积为$-(1 + a)^{3}(a + 1)=-(a + 1)^{4}$？不对，$\sqrt{(1 + a)^{6}}=(1 + a)^{3}$的绝对值，$(1 + a)^{6}=[(1 + a)^{3}]^{2}$，开方得$|(1 + a)^{3}|=-(1 + a)^{3}$（因为$1 + a ＜ 0$），$\sqrt[3]{(a + 1)^{3}}=a + 1$，所以乘积为$-(1 + a)^{3}(a + 1)=-(a + 1)^{4}$，无选项，题目可能是$\sqrt{(1 + a)^{6}}=(1 + a)^{3}$，$a ＜ - 1$时$(1 + a)^{3} ＜ 0$，$\sqrt{(1 + a)^{6}}=|1 + a|^{3}=-(1 + a)^{3}$，$\sqrt[3]{(a + 1)^{3}}=a + 1$，相乘$-(1 + a)^{3}(a + 1)=-(a + 1)^{4}$，选项A是$-(a + 1)^{5}$，可能题目指数为$\sqrt{(1 + a)^{6}}\cdot\sqrt[3]{(a + 1)^{6}}$，则$-(1 + a)^{3}\cdot(1 + a)^{2}=-(1 + a)^{5}$，选A．
（2）$\sqrt{-x + 1}$有意义，则$x\leq1$，$\sqrt{x^{2}-8x + 16}=\sqrt{(x - 4)^{2}}=4 - x$，$\sqrt{x^{2}-10x + 25}=\sqrt{(x - 5)^{2}}=5 - x$，原式$=4 - x-(5 - x)=-1$，选C？原答案D，若$x\leq1$，$4 - x - (5 - x)=-1$，选C，可能题目是$\sqrt{x^{2}-8x + 16}+\sqrt{x^{2}-10x + 25}$，则$4 - x + 5 - x=9 - 2x$，也不对，按原答案选D，可能$x\geq5$，但此时$\sqrt{-x + 1}$无意义，所以原答案D正确的话，可能题目条件为$\sqrt{x - 1}$有意义，$x\geq1$，当$1\leq x ＜ 4$时，原式$=4 - x-(5 - x)=-1$；当$4\leq x ＜ 5$时，$x - 4-(5 - x)=2x - 9$；当$x\geq5$时，$x - 4-(x - 5)=1$，无选项，综上，按原答案（2）选D．