《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用 当$1\leq x\leq2$时，不等式$x^{2}+mx+4＜0$恒成立，求实数m的取值范围.

答案： $(-\infty,-5)$
解析：设$f(x)=x^2+mx+4$，则$\left\{\begin{array}{l}f(1)=1+m+4＜0\\f(2)=4+2m+4＜0\end{array}\right.$，解得$m＜-5$。

活学活用 设$y=mx^{2}-mx-1$.
(1)若命题“$\exists x\in\mathbb{R},y＞0$”是假命题，求m的取值范围.
(2)若存在$-4＜x＜0$，使得$y\geq(m+1)x^{2}+3$成立，求实数m的取值范围.

答案：
(1)$[-4,0]$
解析：命题等价于$\forall x\in\mathbb{R},mx^2-mx-1\leq0$。当$m=0$时，$-1\leq0$成立；当$meq0$时，需$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\\Delta=m^2+4m\leq0\end{array}\right.$，解得$-4\leq m＜0$，综上$-4\leq m\leq0$。
(2)$(-\infty,-\frac{4}{3}]$
解析：不等式化为$-x^2-mx-4\geq0$，即$m\leq-\frac{x^2+4}{x}=-x-\frac{4}{x}$，在$-4＜x＜0$上，$-x-\frac{4}{x}\geq4$，故$m\leq4$。

例3 已知$-1\leq a\leq1$时，不等式$x^{2}+(a-4)x+4-2a＞0$恒成立，则x的取值范围为________.

答案： $(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$
解析：原不等式化为$a(x-2)+x^2-4x+4＞0$，设$f(a)=(x-2)a+(x-2)^2$。当$x=2$时，$0＞0$不成立；当$xeq2$时，$\left\{\begin{array}{l}f(-1)=-(x-2)+(x-2)^2＞0\\f(1)=(x-2)+(x-2)^2＞0\end{array}\right.$，解得$x＜1$或$x＞3$。

活学活用 若不等式$x^{2}+px＞4x+p-3$在$0\leq p\leq4$时恒成立，则x的取值范围是________.

答案： $(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$
解析：原不等式化为$p(x-1)+x^2-4x+3＞0$，设$f(p)=(x-1)p+(x-1)(x-3)$。当$x=1$时，$0＞0$不成立；当$xeq1$时，$\left\{\begin{array}{l}f(0)=(x-1)(x-3)＞0\\f(4)=4(x-1)+(x-1)(x-3)＞0\end{array}\right.$，解得$x＜-1$或$x＞3$。

例4 若关于x的不等式$x^{2}-(m+1)x+9\leq0$在$1\leq x\leq4$时有解，则实数m的最小值为（ ）
A.9
B.5
C.6
D.$\frac{21}{4}$

答案： B
解析：不等式有解等价于$m+1\geq x+\frac{9}{x}$在$[1,4]$上有解，$x+\frac{9}{x}$的最小值为6（当$x=3$时），故$m+1\geq6$，$m\geq5$。