《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

(2)若sinα + cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则sinαcosα的值为（ ）
A. $\frac{1}{4}$ B. $-\frac{3}{4}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $-\frac{1}{4}$

答案： D
解析：$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2=1 + 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}$，则$2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{1}{2}$，$\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{1}{4}$。

例3 已知tanα=-$\frac{1}{2}$，那么sin²α + 2sinαcosα - 3cos²α的值是（ ）
A. -3 B. $-\frac{5}{9}$ C. 3 D. $-\frac{7}{5}$

答案： D
解析：原式=$\frac{\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - 3\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{\tan^2\alpha + 2\tan\alpha - 3}{\tan^2\alpha + 1}=\frac{(\frac{1}{4}) + 2×(-\frac{1}{2}) - 3}{\frac{1}{4}+1}=\frac{\frac{1}{4}-1 - 3}{\frac{5}{4}}=\frac{-\frac{15}{4}}{\frac{5}{4}}=-3$（原解析有误，重新计算：$\tan\alpha=-\frac{1}{2}$，原式分子分母同除以$\cos^2\alpha$得$\frac{\tan^2\alpha + 2\tan\alpha - 3}{\tan^2\alpha + 1}=\frac{(\frac{1}{4}) + 2×(-\frac{1}{2}) - 3}{\frac{1}{4}+1}=\frac{\frac{1}{4}-1 - 3}{\frac{5}{4}}=\frac{-\frac{15}{4}}{\frac{5}{4}}=-3$，答案应为A）

已知tanα=3，则$\frac{3\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha}$等于（ ）
A. $\frac{4}{5}$ B. 5 C. $\frac{3}{4}$ D. 2

答案： D
解析：原式=$\frac{3\tan\alpha + 1}{\tan\alpha + 2}=\frac{3×3 + 1}{3 + 2}=\frac{10}{5}=2$。

例4 (1)化简：sin²αtanα + $\frac{\cos²α}{\tanα}$ + 2sinαcosα。

答案： $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$
解析：原式=$\sin^2\alpha×\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\cos^2\alpha×\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin^4\alpha+\cos^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$。

(2)求证：$\frac{\tan\alpha\sin\alpha}{\tan\alpha - \sin\alpha}=\frac{\tan\alpha + \sin\alpha}{\tan\alpha\sin\alpha}$。

答案： 证明：左边=$\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}×\sin\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\sin\alpha}=\frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha(1 - \cos\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}$，右边=$\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\sin\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}×\sin\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha + \sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin^2\alpha}=\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$，$\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha}=\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}=\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin^2\alpha}=\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$，左边=右边，得证。

(1)化简：$\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}+\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}}$，$\pi＜\alpha＜\frac{3\pi}{2}$。

答案： -2cscα
解析：原式=$\sqrt{\frac{(1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha}}+\sqrt{\frac{(1 + \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha}}=\frac{1 - \cos\alpha}{|\sin\alpha|}+\frac{1 + \cos\alpha}{|\sin\alpha|}$，$\pi＜\alpha＜\frac{3\pi}{2}$，$\sin\alpha＜0$，原式=$\frac{2}{-\sin\alpha}=-2\csc\alpha$。

(2)已知$\frac{\cos^4A}{\cos^2B}+\frac{\sin^4A}{\sin^2B}=1$，求证：$\frac{\cos^4B}{\cos^2A}+\frac{\sin^4B}{\sin^2A}=1$。

答案： 证明：设$\sin^2A=m$，$\sin^2B=n$，则$\cos^2A=1 - m$，$\cos^2B=1 - n$，代入已知等式得$\frac{(1 - m)^2}{1 - n}+\frac{m^2}{n}=1$，化简得$n(1 - 2m + m^2)+(1 - n)m^2=n(1 - n)$，$n - 2mn + m^2n + m^2 - m^2n=n - n^2$，$m^2 - 2mn + n^2=0$，$(m - n)^2=0$，$m=n$，即$\sin^2A=\sin^2B$，$\cos^2A=\cos^2B$，代入要证等式左边得$\frac{\cos^4A}{\cos^2A}+\frac{\sin^4A}{\sin^2A}=\cos^2A+\sin^2A=1$，得证。