《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1 右图中的曲线$C_1,C_2,C_3,C_4$是指数函数的图象，已知对应函数的底数a的值可取为$\sqrt{3},\frac{4}{3},\frac{7}{10},\frac{1}{5}$，则相应曲线$C_1,C_2,C_3,C_4$中a的值依次为（ ）
A. $\frac{4}{3},\sqrt{3},\frac{1}{5},\frac{7}{10}$
B. $\sqrt{3},\frac{4}{3},\frac{7}{10},\frac{1}{5}$
C. $\frac{7}{10},\frac{1}{5},\sqrt{3},\frac{4}{3}$
D. $\frac{1}{5},\frac{7}{10},\frac{4}{3},\sqrt{3}$

答案： D
解析：在y轴右侧，指数函数图象“底大图高”。$\sqrt{3}\approx1.732$，$\frac{4}{3}\approx1.333$，$\frac{7}{10}=0.7$，$\frac{1}{5}=0.2$。$a＞1$时，$\sqrt{3}＞\frac{4}{3}$，对应$C_3,C_4$；$0＜a＜1$时，$0.7＞0.2$，对应$C_2,C_1$。故$C_1:\frac{1}{5},C_2:\frac{7}{10},C_3:\frac{4}{3},C_4:\sqrt{3}$，选D。

活学活用 函数$f(x)=\frac{x}{|x|}·2^x$的图象的大致形状是（ ）（选项为四个图象）

答案： A
解析：当$x＞0$时，$f(x)=\frac{x}{x}·2^x=2^x$，为增函数；当$x＜0$时，$f(x)=\frac{x}{-x}·2^x=-2^x$，为减函数，且$f(x)＜-1$。符合A选项图象特征，故选A。

例2（1）已知函数$f(x)=a^{x-4}-\frac{5}{8}(a＞0$，且$a≠1)$的图象过定点$(m,n)$，则$\left(\frac{9}{4}\right)^{mn}=$（ ）
A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{8}{27}$
D. $\frac{27}{8}$

答案： D
解析：令$x - 4=0$，得$x=4$，此时$f(4)=a^0-\frac{5}{8}=1 - \frac{5}{8}=\frac{3}{8}$，即$m=4$，$n=\frac{3}{8}$。$mn=4×\frac{3}{8}=\frac{3}{2}$，$\left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{3}{2}}=\left(\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}=\left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{8}$，选D。

例2（2）若函数$y=a^x + m - 1(a＞0$，且$a≠1)$的图象经过第一、三、四象限，则（ ）
A. $a＞1$
B. $a＞1$且$m＜0$
C. $0＜a＜1$且$m＞0$
D. $0＜a＜1$

答案： B
解析：当$a＞1$时，函数$y=a^x$过$(0,1)$且单调递增。向下平移超过1个单位时，图象过第一、三、四象限。即$m - 1 ＜ -1$，得$m＜0$，故选B。

活学活用（1）函数$f(x)=a^{x - b}$的图象如右图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A. $a＞1,b＜0$
B. $a＞1,b＞0$
C. $0＜a＜1,b＞0$
D. $0＜a＜1,b＜0$

答案： D
解析：由图象单调递减知$0＜a＜1$。当$x=0$时，$f(0)=a^{-b}＜1=a^0$，因为$0＜a＜1$，所以$-b＞0$，即$b＜0$，选D。

活学活用（2）函数$y=a^{2x + 1} + 1(a＞0$，且$a≠1)$的图象过定点______.

答案： $\left(-\frac{1}{2},2\right)$
解析：令$2x + 1=0$，得$x=-\frac{1}{2}$，此时$y=a^0 + 1=1 + 1=2$，故过定点$\left(-\frac{1}{2},2\right)$。

例3 求下列函数的定义域和值域：
(1)$y=0.4^{\frac{1}{x - 1}}$
(2)$y=\sqrt{3^{2x - 1} - \frac{1}{9}}$

答案：
(1)定义域：$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$，值域：$(0,1)\cup(1,+\infty)$
解析：$x - 1≠0$即$x≠1$，定义域为$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。令$t=\frac{1}{x - 1}$，$t≠0$，则$y=0.4^t$，$t≠0$时$y∈(0,1)\cup(1,+\infty)$。
(2)定义域：$[- \frac{1}{2},+\infty)$，值域：$[0,+\infty)$
解析：$3^{2x - 1}-\frac{1}{9}≥0$，$3^{2x - 1}≥3^{-2}$，$2x - 1≥-2$，$x≥-\frac{1}{2}$，定义域为$[- \frac{1}{2},+\infty)$。令$t=3^{2x - 1}-\frac{1}{9}$，$t≥0$，则$y=\sqrt{t}≥0$，值域为$[0,+\infty)$。