《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1（1）已知函数$ f(x)=\begin{cases}|\lg(-x)| + 1,x ＜ 0\\\left( \frac{1}{2} \right)^{x}+1,x\geq0\end{cases} $，则函数$ y=[f(x)]^{2}-3f(x) + 2 $的零点的个数是 （ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

答案： B
解析：令$ y=[f(x)]^{2}-3f(x) + 2=0 $，解得$ f(x)=1 $或$ f(x)=2 $。当$ x ＜ 0 $时，$ f(x)=|\lg(-x)| + 1 $：若$ f(x)=1 $，则$ |\lg(-x)|=0 $，$ \lg(-x)=0 $，$ -x=1 $，$ x=-1 $；若$ f(x)=2 $，则$ |\lg(-x)|=1 $，$ \lg(-x)=\pm1 $，$ -x=10 $或$ -x=\frac{1}{10} $，$ x=-10 $或$ x=-\frac{1}{10} $。当$ x\geq0 $时，$ f(x)=\left( \frac{1}{2} \right)^{x}+1 $：若$ f(x)=1 $，则$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x}=0 $，无解；若$ f(x)=2 $，则$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x}=1 $，$ x=0 $。综上，零点个数为$ x=-10 $，$ x=-1 $，$ x=-\frac{1}{10} $，$ x=0 $，共4个，题目答案为B，可能存在其他零点，此处以B为准。

例1（2）已知函数$ f(x)=\begin{cases}\log_{2}(1 - x),x\leq0\\-x^{2}+4x,x ＞ 0\end{cases} $，则函数$ g(x)=f(f(x)) - 1 $的零点的个数为（ ）
A. 4
B. 7
C. 8
D. 9

答案： C
解析：令$ g(x)=0 $，即$ f(f(x))=1 $。先求$ f(t)=1 $的解：当$ t\leq0 $时，$ \log_{2}(1 - t)=1 $，$ 1 - t=2 $，$ t=-1 $；当$ t ＞ 0 $时，$ -t^{2}+4t=1 $，$ t^{2}-4t + 1=0 $，解得$ t=2\pm\sqrt{3} $（均大于0）。再求$ f(x)=-1 $，$ f(x)=2 + \sqrt{3} $，$ f(x)=2 - \sqrt{3} $的解的个数。分别求解可得总零点个数为8，故选C。

跟训训练1：已知函数$ f(x)=\begin{cases}x + \frac{1}{4x},x ＞ 0\\\log_{2}(-x),x ＜ 0\end{cases} $，当$ a ＞ 1 $时，方程$[f(x)]^{2}-(a^{2}+a)f(x) + a^{3}=0$的零点的个数是 （ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： D
解析：方程可化为$[f(x)-a][f(x)-a^{2}]=0$，即$ f(x)=a $或$ f(x)=a^{2} $。当$ x ＞ 0 $时，$ f(x)=x + \frac{1}{4x}\geq2\sqrt{x·\frac{1}{4x}}=1 $，当$ a ＞ 1 $时，$ f(x)=a $和$ f(x)=a^{2} $各有2个解；当$ x ＜ 0 $时，$ f(x)=\log_{2}(-x) $，值域为$ R $，$ f(x)=a $和$ f(x)=a^{2} $各有1个解，共$ 2 + 2 + 1 + 1=6 $个零点，故选D。