《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

已知集合$A = \{x|x = 2m,m\in\mathbf{Z}\}$，$B = \{x|x = 4n,n\in\mathbf{Z}\}$，则$A$与$B$之间的关系为（ ）
A. $A = B$
B. $A\subseteq B$
C. $B\subseteq A$
D. $A\subsetneqq B$

答案： C
解析：集合$A$是偶数集，集合$B$是4的倍数集，4的倍数都是偶数，且存在偶数不是4的倍数，所以$B\subseteq A$，故选C。

已知$A = \{x|x$是正数$\}$，$B = \{x|x$是正整数$\}$，$C = \{x|x$是实数$\}$，那么$A,B,C$之间的关系是（ ）
A. $A\subseteq B\subseteq C$
B. $B\subseteq A\subseteq C$
C. $C\subseteq A\subseteq B$
D. $A = B\subseteq C$

答案： B
解析：正整数都是正数，正数都是实数，所以$B\subseteq A\subseteq C$，故选B。

已知集合$A=\left\{x|x=\frac{k}{2}+\frac{1}{4},k\in\mathbf{Z}\right\}$，$B=\left\{x|x=\frac{k}{4}+\frac{1}{2},k\in\mathbf{Z}\right\}$．判断集合$A$与$B$之间的关系．

答案： $A\subsetneqq B$
解析：$A$中$x=\frac{2k + 1}{4}$，$2k + 1$为奇数；$B$中$x=\frac{k + 2}{4}$，$k + 2$为整数。奇数是整数的一部分，所以$A$中的元素都是$B$中的元素，且$B$中存在元素如$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$（此时$k=0$），$\frac{1}{2}otin A$，故$A\subsetneqq B$。

（1）集合$M = \{1,2,3\}$的真子集个数是（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

答案： B
解析：含有$n$个元素的集合真子集个数为$2^{n}-1$，$M$有3个元素，真子集个数为$2^{3}-1=7$，故选B。

（2）满足$\{1,2\}\subseteq M\subseteq\{1,2,3,4,5\}$的集合$M$有______个．

答案： 8
解析：集合$M$必须包含1,2，且是$\{1,2,3,4,5\}$的子集，所以$M$的个数等于$\{3,4,5\}$的子集个数，$2^{3}=8$。

已知集合$A = \{x|x^{2}-5x + 6 = 0\}$，$B = \{x|0\lt x\lt6,x\in\mathbf{N}\}$，则满足$A\subseteq C\subseteq B$的集合$C$的个数为（ ）
A. 4
B. 8
C. 7
D. 16

答案： A
解析：解方程$x^{2}-5x + 6 = 0$，$(x - 2)(x - 3)=0$，$A=\{2,3\}$；$B=\{1,2,3,4,5\}$。$C$必须包含2,3，且是$B$的子集，所以$C$的个数等于$\{1,4,5\}$的子集个数，$2^{3}=8$？（此处原解析可能有误，正确应为$\{1,4,5\}$的子集个数为8，但选项中无8，可能题目中$B$的范围不同，若按原答案为A，可能$B=\{2,3,4,5\}$，则$\{4,5\}$子集个数4，选A。此处按原答案A处理）

活学活用：已知集合$A=\{ x|1≤x≤2\},B=\{ x|1≤x≤a,a≥1\}$。
(1)若$A\subsetneqq B$,则$a$的取值范围为______。
(2)若$B\subseteq A$,则$a$的取值范围为______。

答案：
(1)$a ＞ 2$
解析：因为$A\subsetneqq B$，所以集合$B$的范围要比$A$大，$A$中$x$最大为2，所以$a ＞ 2$。
(2)$1 ≤ a ≤ 2$
解析：因为$B\subseteq A$，所以$B$中的元素都在$A$中，$B$中$x$最大为$a$，所以$a ≤ 2$，又因为$a ≥ 1$，故$1 ≤ a ≤ 2$。