《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例3 已知$a$，$b$，$c$均为正实数，且$a + b + c = 1$，求证：$(\frac{1}{a}-1)\cdot(\frac{1}{b}-1)\cdot(\frac{1}{c}-1)\geqslant8$。

答案： 证明：$\frac{1}{a}-1=\frac{b + c}{a}$，同理$\frac{1}{b}-1=\frac{a + c}{b}$，$\frac{1}{c}-1=\frac{a + b}{c}$，则原式$=\frac{(b + c)(a + c)(a + b)}{abc}$。因为$b + c\geqslant2\sqrt{bc}$，$a + c\geqslant2\sqrt{ac}$，$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$，相乘得$(b + c)(a + c)(a + b)\geqslant8abc$，即$\frac{(b + c)(a + c)(a + b)}{abc}\geqslant8$，当且仅当$a = b = c=\frac{1}{3}$时取等号。

已知$a$，$b$，$c＞0$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geqslant a + b + c$。

答案： 证明：由基本不等式得$\frac{a^2}{b}+b\geqslant2a$，$\frac{b^2}{c}+c\geqslant2b$，$\frac{c^2}{a}+a\geqslant2c$，三式相加得$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a + b + c\geqslant2(a + b + c)$，移项得$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geqslant a + b + c$，当且仅当$a = b = c$时取等号。