《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例3 设全集$U = \mathbf{R}$，集合$A = \{ x | 1 \leq x \leq 5 \}$，非空集合$B = \{ x | 2 - a \leq x \leq 1 + 2a \}$，$a \in \mathbf{R}$。
（1）若$a = 3$，求$(\complement_{U}A) \cap B$。
（2）若“$x \in A$”是“$x \in B$”的必要不充分条件，求$a$的取值范围。

答案： （1）$[6,7]$；（2）$[2, +∞)$
解析：（1）$a = 3$时，$B = [-1,7]$，$\complement_{U}A = (-∞,1) \cup (5,+∞)$，$(\complement_{U}A) \cap B = [-1,1) \cup (5,7]$；（2）$B \subseteq A$且$B eq A$，则$\begin{cases} 2 - a \geq 1 \\ 1 + 2a \leq 5 \end{cases}$，解得$a \leq 2$，又$B$非空$2 - a \leq 1 + 2a \Rightarrow a \geq \frac{1}{3}$，综上$\frac{1}{3} \leq a \leq 2$。

活学活用 已知$p: x ＜ -2$或$x ＞ 3$，$q: 4x + m ＜ 0$，若$p$是$q$的必要不充分条件，则实数$m$的取值范围为________。

答案： m ＜ 8
解析：$q: x ＜ -\frac{m}{4}$，$p$是$q$的必要不充分条件$\Rightarrow q \Rightarrow p$且$p Rightarrow q$，则$-\frac{m}{4} \leq -2 \Rightarrow m \geq 8$。

（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“$\forall$”表示。
（2）含有全称量词的命题，叫做________。
（3）全称量词命题的表述形式：对$M$中任意一个$x$，$p(x)$成立，可用符号简记为________。
（4）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“$\exists$”表示。
（5）含有存在量词的命题，叫做________。
（6）存在量词命题的表述形式：存在$M$中的元素$x$，$p(x)$成立，可用符号简记为________。

答案： 全称量词；全称量词命题；$\forall x \in M, p(x)$；存在量词；存在量词命题；$\exists x \in M, p(x)$