《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

已知实数$x$,$y$满足$- 1\leqslant x + y\leqslant 1$,$- 1\leqslant x + 2y\leqslant 3$,求$x + 3y$的取值范围.

答案： $1\leqslant x + 3y\leqslant 5$
解析：设$x + 3y=m(x + y)+n(x + 2y)=(m + n)x + (m + 2n)y$，则$\begin{cases}m + n=1 \\m + 2n=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=- 1 \=2\end{cases}$。所以$x + 3y=- (x + y)+2(x + 2y)$，因为$- 1\leqslant x + y\leqslant 1$，所以$- 1\leqslant - (x + y)\leqslant 1$；因为$- 1\leqslant x + 2y\leqslant 3$，所以$- 2\leqslant 2(x + 2y)\leqslant 6$，两式相加得$1\leqslant x + 3y\leqslant 5$。

[多选题]设$a＞0$，$b＞0$，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. $a^2 + 1＞a$
B. $(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})\geqslant4$
C. $(a + b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geqslant4$
D. $a-1+\frac{4}{a - 1}\geqslant4$

答案： ABC
解析：A选项，$a^2 - a + 1=(a-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}＞0$，所以$a^2 + 1＞a$恒成立；B选项，$a+\frac{1}{a}\geqslant2$，$b+\frac{1}{b}\geqslant2$，相乘得$(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})\geqslant4$；C选项，$(a + b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqslant4$；D选项，当$a - 1＜0$时不成立，故选ABC。