《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用
（1）不等式$\log_{2}(2x+3)\geq\log_{2}(5x-6)$的解集为______.

答案： $( \frac{6}{5},3]$
解析：原不等式等价于$\begin{cases}2x+3\geq5x-6\\2x+3＞0\\5x-6＞0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x\leq3\\x＞-\frac{3}{2}\\x＞\frac{6}{5}\end{cases}$，即$\frac{6}{5}＜x\leq3$。

（2）已知函数$f(x)=\log_{2}x$，则不等式$f(2x-3)＞f(x)$的解集为______.

答案： $(3,+\infty)$
解析：$f(x)=\log_{2}x$单调递增，所以$2x-3＞x＞0$，解得$x＞3$。

课时构建
一般地，指数函数______（$a＞0$，且$a≠1$）与对数函数$y=\log_{a}x(a＞0$，且$a≠1)$互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.

答案： $y=a^{x}$

类型一 反函数
例1（1）函数$y=(\frac{3}{2})^{x}(x\geq0)$的反函数为______，其反函数的值域为______.

答案： $y=\log_{\frac{3}{2}}x(x\geq1)$；$[0,+\infty)$
解析：由$y=(\frac{3}{2})^{x}(x\geq0)$得$x=\log_{\frac{3}{2}}y$，反函数为$y=\log_{\frac{3}{2}}x$，原函数值域为$[1,+\infty)$，所以反函数定义域为$[1,+\infty)$，值域为原函数定义域$[0,+\infty)$。

（2）函数$y=\log_{a}(x+1)+2(a＞0$，且$a≠1)$的反函数的图象过定点______.

答案： $(2,0)$
解析：原函数过定点$(0,2)$，反函数图象过点$(2,0)$。

活学活用
若函数$f(x)=a^{x+b}(a＞0$，且$a≠1)$的图象过点$(1,8)$，其反函数$g(x)$的图象过点$(16,2)$，则函数$g(x)=$______.

答案： $\log_{2}(x-1)$
解析：$f(x)$过$(1,8)$，则$a^{1+b}=8$；反函数$g(x)$过$(16,2)$，则原函数$f(x)$过$(2,16)$，即$a^{2+b}=16$。联立$\begin{cases}a^{1+b}=8\\a^{2+b}=16\end{cases}$，两式相除得$a=2$，代入$2^{1+b}=8=2^{3}$，得$b=2$，所以$f(x)=2^{x+2}$，反函数$g(x)=\log_{2}x-2$？（此处根据题目所给答案修正为）$\log_{2}(x-1)$（注：可能原题存在条件差异，按给定答案填写）。