《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用 比较下列各组数的大小：
(1)$ 3^{-\frac{2}{3}} $和$ 3.1^{-\frac{2}{3}} $.

答案： $ 3^{-\frac{2}{3}}＞3.1^{-\frac{2}{3}} $
解析：函数$ y=x^{-\frac{2}{3}} $在$ (0,+\infty) $上单调递减，因为$ 3＜3.1 $，所以$ 3^{-\frac{2}{3}}＞3.1^{-\frac{2}{3}} $.

(2)$ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} $和$ \left(-\frac{3}{5}\right)^{-1} $.

答案： $ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1}＜\left(-\frac{3}{5}\right)^{-1} $
解析：$ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1}=-\frac{3}{2} $，$ \left(-\frac{3}{5}\right)^{-1}=-\frac{5}{3} $，因为$ -\frac{3}{2}=-\frac{9}{6} $，$ -\frac{5}{3}=-\frac{10}{6} $，$ -\frac{9}{6}＞-\frac{10}{6} $，所以$ \left(-\frac{2}{3}\right)^{-1}＞\left(-\frac{3}{5}\right)^{-1} $.

(3)$ 4.1^{\frac{1}{2}},3.8^{-\frac{1}{2}} $和$ (-1.9)^{-\frac{1}{3}} $.

答案： $ 4.1^{\frac{1}{2}}＞3.8^{-\frac{1}{2}}＞(-1.9)^{-\frac{1}{3}} $
解析：$ 4.1^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4.1}＞1 $，$ 0＜3.8^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3.8}}＜1 $，$ (-1.9)^{-\frac{1}{3}}=-\frac{1}{\sqrt[3]{1.9}}＜0 $，所以$ 4.1^{\frac{1}{2}}＞3.8^{-\frac{1}{2}}＞(-1.9)^{-\frac{1}{3}} $.

例4 若$ (a + 1)^{-\frac{1}{3}}＜(3 - 2a)^{-\frac{1}{3}} $，则实数$ a $的取值范围是______.

答案： $ (-1,\frac{2}{3}) \cup (4,+\infty) $
解析：函数$ y=x^{-\frac{1}{3}} $在$ (-\infty,0),(0,+\infty) $上单调递减.当$ a + 1＞0,3 - 2a＞0 $时，$ a + 1＞3 - 2a $，即$ \begin{cases}a＞-1\\a＜\frac{3}{2}\\a＞\frac{2}{3}\end{cases} $，解得$ \frac{2}{3}＜a＜\frac{3}{2} $；当$ a + 1＜0,3 - 2a＜0 $时，$ a + 1＞3 - 2a $，即$ \begin{cases}a＜-1\\a＞\frac{3}{2}\end{cases} $，无解；当$ a + 1＜0,3 - 2a＞0 $时，$ a＜-1 $且$ a＜\frac{3}{2} $，解得$ a＜-1 $.综上，$ a $的取值范围是$ (-\infty,-1) \cup (\frac{2}{3},\frac{3}{2}) $.

活学活用 已知幂函数$ f(x)=x^{\alpha} $的图象过点$ (2,\frac{1}{8}) $，则满足$ f(a + 1)＜f(3 - 2a) $的实数$ a $的取值范围是______.

答案： $ (\frac{2}{3},\frac{3}{2}) $
解析：因为图象过点$ (2,\frac{1}{8}) $，所以$ 2^{\alpha}=\frac{1}{8}=2^{-3} $，$ \alpha=-3 $，即$ f(x)=x^{-3} $，在$ (-\infty,0),(0,+\infty) $上单调递减.由$ f(a + 1)＜f(3 - 2a) $，得$ \begin{cases}a + 1＞3 - 2a＞0\\或 0＞a + 1＞3 - 2a\\或 a + 1＜0＜3 - 2a\end{cases} $.解得$ \frac{2}{3}＜a＜\frac{3}{2} $或无解或无解，故$ a $的取值范围是$ (\frac{2}{3},\frac{3}{2}) $.