《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例4 设集合$A = \{x|x + m ≥ 0\},B = \{x|-2 ＜ x ＜ 4\}$，全集$U = R$，且$(\complement_U A)\cap B = \varnothing$，求实数$m$的取值范围。

答案： $m ≥ 2$
解析：$A = \{x|x ≥ -m\}$，$\complement_U A = \{x|x ＜ -m\}$，因为$(\complement_U A)\cap B = \varnothing$，所以$-m ≤ -2$，即$m ≥ 2$。

活学活用：已知集合$A = \{x|8 ＜ x ＜ 10\}$，设集合$S = \{x|0 ＜ x ＜ 9\},B = \{x|a ＜ x ＜ 2a - 1\}$，若$(\complement_S B)\cap A = \{x|8 ＜ x ＜ 9\}$...（题目不完整，无法准确解答）

答案： （题目不完整，无法给出准确答案）

例1 (1)在含有有限个元素的数集中，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如$\{4,6,9\}$的交替和是$9 - 6 + 4 = 7$，而$\{5\}$的交替和是5，则集合$M = \{1,2,3,4\}$的所有非空子集的交替和的总和为（ ）
A.12
B.32
C.80
D.192

答案： B
解析：集合$M$的非空子集共有$2^4 - 1 = 15$个。含有1个元素的子集交替和总和为$1 + 2 + 3 + 4 = 10$；含有2个元素的子集：$\{1,2\}$交替和$2 - 1 = 1$，$\{1,3\}$$3 - 1 = 2$，$\{1,4\}$$4 - 1 = 3$，$\{2,3\}$$3 - 2 = 1$，$\{2,4\}$$4 - 2 = 2$，$\{3,4\}$$4 - 3 = 1$，总和$1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1 = 10$；含有3个元素的子集：$\{1,2,3\}$$3 - 2 + 1 = 2$，$\{1,2,4\}$$4 - 2 + 1 = 3$，$\{1,3,4\}$$4 - 3 + 1 = 2$，$\{2,3,4\}$$4 - 3 + 2 = 3$，总和$2 + 3 + 2 + 3 = 10$；含有4个元素的子集：$\{1,2,3,4\}$$4 - 3 + 2 - 1 = 2$，总和$2$。所有非空子集交替和总和$10 + 10 + 10 + 2 = 32$，答案选B。

(2)设$X$是一个集合，$\tau$是一个以$X$的某些子集为元素的集合，且满足：(ⅰ)$X$属于$\tau$，$\varnothing$属于$\tau$。(ⅱ)$\tau$中任意多个元素的并集属于$\tau$。(ⅲ)$\tau$中任意多个元素的交集属于$\tau$。则称$\tau$是集合$X$上的一个拓扑。已知集合$X = \{0,1,2\}$，给出下面四个集合$\tau$：①$\tau = \{\varnothing,\{0\},\{2\},\{0,1,2\}\}$。②$\tau = \{\varnothing,\{0\},\{1\},\{0,1\},\{0,1,2\}\}$。③$\tau = \{\varnothing,\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\}\}$。④$\tau = \{\varnothing,\{2\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\}$。其中是集合$X$上的拓扑的集合$\tau$的序号是（ ）
A.①② B.②③ C.②④ D.③④

答案： C
解析：①中$\{0\}\cup \{2\} = \{0,2\}∉\tau$，不满足(ⅱ)；②满足所有条件；③中$X = \{0,1,2\}∉\tau$，不满足(ⅰ)；④满足所有条件，答案选C。

例2 设$A$，$B$为两个非空有限集合，定义$J(A,B) = 1 - \frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$，$|S|$表示集合$S$的元素个数。某学校甲、乙、丙、丁4名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学这6门普通高中业水平选择性考试科目中自主选择3门参加考试，设这4名同学选考的科目组成的集合分别为$S_1,S_2,S_3,S_4$。已知$S_1 = \{物理,化学,生物学\},S_2 = \{地理,物理,化学\},S_3 = \{思想政治,历史,地理\}$，给出下列四个结论：①若$J(S_2,S_3) = 1$，则$S_4 = \{思想政治,历史,生物学\}$。②若$J(S_1,S_2) = J(S_1,S_4)$，则$S_4 = \{地理,物理,化学\}$。③若$S_4 = \{思想政治,物理,生物学\}$，则$J(S_1,S_4) ＜ J(S_2,S_4) = J(S_3,S_4)$。④若$J(S_1,S_4) ＞ J(S_2,S_4) = J(S_3,S_4)$，则$S_4 = \{思想政治,地理,化学\}$。其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4

答案： A
解析：①$J(S_2,S_3) = 1 - \frac{|S_2\cap S_3|}{|S_2\cup S_3|} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} ≠ 1$，错误；②$J(S_1,S_2) = 1 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，$S_4$可以有多种可能，错误；③$S_4 = \{思想政治,物理,生物学\}$，$J(S_1,S_4) = 1 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，$J(S_2,S_4) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$，$J(S_3,S_4) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$，正确；④$J(S_2,S_4) = J(S_3,S_4)$，$S_4$不一定是$\{思想政治,地理,化学\}$，错误。正确结论个数为1，答案选A。