《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1 计算:(1)$\log_{2}3×\log_{3}6×\log_{6}8$.
(2)$\log_{4}\frac{25}{9}+\log_{2}3-\log_{0.5}\frac{1}{5}$.

答案：
(1)3
解析：根据换底公式$\log_{a}b=\frac{\lg b}{\lg a}$，则$\log_{2}3×\log_{3}6×\log_{6}8=\frac{\lg3}{\lg2}×\frac{\lg6}{\lg3}×\frac{\lg8}{\lg6}=\frac{\lg8}{\lg2}=\frac{3\lg2}{\lg2}=3$。
(2)1
解析：$\log_{4}\frac{25}{9}+\log_{2}3-\log_{0.5}\frac{1}{5}=\frac{1}{2}\log_{2}\frac{25}{9}+\log_{2}3 - \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{5}=\log_{2}(\frac{5}{3})+\log_{2}3 - \log_{2}5=\log_{2}(\frac{5}{3}×3)-\log_{2}5=\log_{2}5-\log_{2}5 = 0$。

活学活用
(1)已知$a,b,m＞0,a,b,ab≠1,\log_{a}m = 2,\log_{b}m=3$,则$\log_{ab}m=$（ ）
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{6}{5}$
(2)计算:$\frac{\log_{5}\sqrt{2}×\log_{7}9}{\log_{5}\frac{1}{3}×\log_{7}\sqrt[3]{4}}$.

答案：
(1)D
解析：由$\log_{a}m = 2$得$a = m^{\frac{1}{2}}$，由$\log_{b}m = 3$得$b = m^{\frac{1}{3}}$，则$ab=m^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=m^{\frac{5}{6}}$，所以$\log_{ab}m=\frac{1}{\frac{5}{6}}=\frac{6}{5}$。
(2)$-\frac{3}{2}$
解析：原式$=\frac{\frac{\lg\sqrt{2}}{\lg5}×\frac{\lg9}{\lg7}}{\frac{\lg\frac{1}{3}}{\lg5}×\frac{\lg\sqrt[3]{4}}{\lg7}}=\frac{\frac{\frac{1}{2}\lg2}{\lg5}×\frac{2\lg3}{\lg7}}{\frac{-\lg3}{\lg5}×\frac{\frac{2}{3}\lg2}{\lg7}}=\frac{\frac{1}{2}×2}{\frac{-1×\frac{2}{3}}{}=-\frac{3}{2}$。