《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用
（1）函数$f(x)=\log_{2}(2x)$的大致图象为（ ）
A. ＜图＞
B. ＜图＞
C. ＜图＞
D. ＜图＞

答案： C
解析：$f(x)=\log_{2}(2x)=\log_{2}2+\log_{2}x=1+\log_{2}x$，其图象是由$y=\log_{2}x$向上平移1个单位得到，过点$(\frac{1}{2},0)$，单调递增，选C。

（2）若函数$y=\log_{a}(x+b)+c(a＞0$，且$a≠1)$的图象恒过定点$(3,2)$，则实数$b=$______，$c=$______.

答案： $-2$；$2$
解析：对数函数$y=\log_{a}x$过定点$(1,0)$，所以$x+b=1$时，$y=0+c=2$，即$x=1-b=3$，解得$b=-2$，$c=2$。

类型二 利用单调性比较对数值的大小
例2 比较下列各组数的大小.
（1）$\log_{\frac{3}{4}}\frac{5}{4}$与$\log_{\frac{3}{4}}\frac{4}{3}$
（2）$\log_{\frac{1}{2}}3$与$\log_{\frac{1}{3}}2$
（3）$\log_{2}3$与$\log_{4}4$

答案： （1）$\log_{\frac{3}{4}}\frac{5}{4}＜\log_{\frac{3}{4}}\frac{4}{3}$；（2）$\log_{\frac{1}{2}}3＜\log_{\frac{1}{3}}2$；（3）$\log_{2}3＞\log_{4}4$
解析：
（1）函数$y=\log_{\frac{3}{4}}x$在$(0,+\infty)$上单调递减，因为$\frac{5}{4}＞\frac{4}{3}$，所以$\log_{\frac{3}{4}}\frac{5}{4}＜\log_{\frac{3}{4}}\frac{4}{3}$。
（2）$\log_{\frac{1}{2}}3=-\log_{2}3＜-1$，$\log_{\frac{1}{3}}2=-\log_{3}2＞-1$，所以$\log_{\frac{1}{2}}3＜\log_{\frac{1}{3}}2$。
（3）$\log_{4}4=1$，$\log_{2}3＞\log_{2}2=1$，所以$\log_{2}3＞\log_{4}4$。

活学活用
比较下列各组中两个值的大小.
（1）$\log_{3}1.9$，$\log_{3}2$
（2）$\log_{0.3}2$，$\log_{0.3}1.9$
（3）$\log_{a}\pi$，$\log_{a}3.141(a＞0$，且$a≠1)$

答案： （1）$\log_{3}1.9＜\log_{3}2$；（2）$\log_{0.3}2＜\log_{0.3}1.9$；（3）当$a＞1$时，$\log_{a}\pi＞\log_{a}3.141$；当$0＜a＜1$时，$\log_{a}\pi＜\log_{a}3.141$
解析：
（1）$y=\log_{3}x$单调递增，$1.9＜2$，所以$\log_{3}1.9＜\log_{3}2$。
（2）$y=\log_{0.3}x$单调递减，$2＞1.9$，所以$\log_{0.3}2＜\log_{0.3}1.9$。
（3）当$a＞1$时，函数单调递增，$\pi＞3.141$，则$\log_{a}\pi＞\log_{a}3.141$；当$0＜a＜1$时，函数单调递减，$\pi＞3.141$，则$\log_{a}\pi＜\log_{a}3.141$。

类型三 利用单调性解对数型不等式
例3 已知函数$f(x)=\log_{a}(x-1)$，$g(x)=\log_{a}(6-2x)(a＞0$，且$a≠1)$.
（1）求函数$\varphi(x)=f(x)+g(x)$的定义域.
（2）试确定不等式$f(x)\leq g(x)$中$x$的取值范围.

答案： （1）$(1,3)$；（2）当$a＞1$时，$x∈[\frac{7}{3},3)$；当$0＜a＜1$时，$x∈(1,\frac{7}{3}]$
解析：
（1）要使$\varphi(x)$有意义，需$\begin{cases}x-1＞0\\6-2x＞0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x＞1\\x＜3\end{cases}$，定义域为$(1,3)$。
（2）$f(x)\leq g(x)$即$\log_{a}(x-1)\leq\log_{a}(6-2x)$。当$a＞1$时，$\begin{cases}x-1\leq6-2x\\x-1＞0\\6-2x＞0\end{cases}$，解得$\frac{7}{3}\leq x＜3$；当$0＜a＜1$时，$\begin{cases}x-1\geq6-2x\\x-1＞0\\6-2x＞0\end{cases}$，解得$1＜x\leq\frac{7}{3}$。