《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

类型二 中间量传递法
例2（1）设$a=0.5^{0.4}$，$b=\log_{0.4}0.3$，$c=\log_{8}0.4$，则$a,b,c$的大小关系是（ ）
A. $a＜b＜c$
B. $c＜b＜a$
C. $c＜a＜b$
D. $b＜c＜a$

答案： C
解析：$a=0.5^{0.4}∈(0,1)$，$b=\log_{0.4}0.3＞\log_{0.4}0.4=1$，$c=\log_{8}0.4＜0$，所以$c＜a＜b$，选C。

（2）已知$a=\log_{3}3$，$b=2^{\frac{1}{2}}$，$c=7^{-0.5}$，则$a,b,c$的大小关系为（ ）
A. $a＞b＞c$
B. $a＞c＞b$
C. $b＞a＞c$
D. $c＞b＞a$

答案： C
解析：$a=\log_{3}3=1$，$b=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\approx1.414＞1$，$c=7^{-0.5}=\frac{1}{\sqrt{7}}\approx0.378＜1$，所以$b＞a＞c$，选C。

活学活用
已知$a=\log_{2}3+\log_{2}\sqrt{3}$，$b=\log_{2}9-\log_{2}\sqrt{3}$，$c=\log_{3}2$，则$a,b,c$的大小关系是（ ）
A. $a=b＜c$
B. $a=b＞c$
C. $a＜b＜c$
D. $a＞b＞c$

答案： B
解析：$a=\log_{2}(3×\sqrt{3})=\log_{2}3^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}\log_{2}3$，$b=\log_{2}(\frac{9}{\sqrt{3}})=\log_{2}3^{\frac{3}{2}}=a$，$a=\frac{3}{2}\log_{2}3＞\frac{3}{2}\log_{2}2=\frac{3}{2}＞1$，$c=\log_{3}2＜1$，所以$a=b＞c$，选B。

类型三 作差或作商法
例3 已知$a=\log_{4}3$，$b=\log_{5}4$，$c=\frac{2}{3}$，则$a,b,c$的大小关系是（ ）
A. $c＜a＜b$
B. $c＜b＜a$
C. $a＜c＜b$
D. $b＜c＜a$

答案： A
解析：$a=\log_{4}3=\frac{\ln3}{\ln4}$，$b=\log_{5}4=\frac{\ln4}{\ln5}$，$a-c=\frac{\ln3}{\ln4}-\frac{2}{3}=\frac{3\ln3-2\ln4}{3\ln4}=\frac{\ln27-\ln16}{3\ln4}＞0$，所以$a＞c$；$b-a=\frac{\ln4}{\ln5}-\frac{\ln3}{\ln4}=\frac{(\ln4)^{2}-\ln3\ln5}{\ln4\ln5}$，由$\ln3\ln5＜(\frac{\ln3+\ln5}{2})^{2}=(\frac{\ln15}{2})^{2}＜(\frac{\ln16}{2})^{2}=(\ln4)^{2}$，所以$b-a＞0$，$b＞a$，即$c＜a＜b$，选A。

活学活用
设$a=\log_{2}\pi$，$b=\log_{2}\sqrt{3}$，$c=\log_{3}\sqrt{2}$，则$a,b,c$的大小关系是______（用“＞”连接）.

答案： $a＞b＞c$
解析：$a=\log_{2}\pi＞\log_{2}2=1$，$b=\log_{2}\sqrt{3}=\frac{1}{2}\log_{2}3\approx0.79$，$c=\log_{3}\sqrt{2}=\frac{1}{2}\log_{3}2\approx0.27$，所以$a＞b＞c$。

课时构建
三种常见函数模型增长的差异
性质
函数
$y=a^{x}(a＞1)$
$y=\log_{a}x(a＞1)$
$y=kx(k＞0)$
在$(0,+\infty)$上的增减性
______
______
______
图象的变化
随$x$的增大逐渐变“陡”
随$x$的增大逐渐平缓
增长速度不变
形象描述
指数爆炸
对数增长
直线上升
增长速度
$y=a^{x}(a＞1)$的增长速度最终都会大大超过$y=kx(k＞0)$的增长速度
增长结果
总会存在一个$x_{0}$，当$x＞x_{0}$时，恒有______

答案： 增函数；增函数；增函数；$a^{x}＞kx＞\log_{a}x$