《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

课时构建 填写对数的概念相关内容：
(1)对数的概念：一般地，如果$a^x=N(a＞0$，且$a≠1)$，那么数x叫做______，记作$x=$______，其中a叫做对数的______，N叫做______.
(2)常用对数与自然对数：通常，我们将以10为底的对数叫做______，并把$\log_{10}N$记为______.另外，以无理数$e=2.71828…$为底的对数称为______，并把$\log_eN$记作______.

答案：
(1)以a为底N的对数，$\log_aN$，底数，真数
(2)常用对数，$\lg N$，自然对数，$\ln N$

例1 求下列各式中x的取值范围.
(1)$\log_2(x - 10)$
(2)$\log_{(x - 1)}(x + 2)$

答案：
(1)$(10,+\infty)$
解析：$x - 10＞0$，$x＞10$。
(2)$(1,2)\cup(2,+\infty)$
解析：$\begin{cases}x - 1＞0\\x - 1≠1\\x + 2＞0\end{cases}$，即$\begin{cases}x＞1\\x≠2\\x＞-2\end{cases}$，解得$x∈(1,2)\cup(2,+\infty)$。

活学活用 在$b=\log_{(a - 2)}(5 - a)$中，实数a的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,2)\cup(5,+\infty)$
B. $(2,5)$
C. $(2,3)\cup(3,5)$
D. $(3,4)$

答案： C
解析：$\begin{cases}a - 2＞0\\a - 2≠1\\5 - a＞0\end{cases}$，$\begin{cases}a＞2\\a≠3\\a＜5\end{cases}$，故$a∈(2,3)\cup(3,5)$，选C。

例2 将下列指数式写成对数式，对数式写成指数式.
(1)$5^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
(2)$\log_{\sqrt{2}}4=4$
(3)$\lg0.001=-3$
(4)$3^{-2}=\frac{1}{9}$
(5)$\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16$
(6)$\log_{\frac{1}{3}}27=-3$
(7)$\log_{\sqrt{x}}64=-6$

答案：
(1)$\log_5\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{1}{2}$
(2)$(\sqrt{2})^4=4$
(3)$10^{-3}=0.001$
(4)$\log_3\frac{1}{9}=-2$
(5)$\log_{\frac{1}{4}}16=-2$
(6)$\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=27$
(7)$(\sqrt{x})^{-6}=64$