《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1 下列“若$p$，则$q$”形式的命题中，哪些命题中的$p$是$q$的充分条件？
（1）若$a \in \mathbf{Q}$，则$a \in \mathbf{R}$。
（2）若$a ＜ b$，则$\frac{a}{b} ＜ 1$。
（3）若$x ＞ 1$，则$x^2 ＞ 1$。
（4）若$(a - 2)(a - 3) = 0$，则$a = 3$。
（5）在$\triangle ABC$中，若$A ＞ B$，则$BC ＞ AC$。

答案： （1）（3）（5）
解析：（1）有理数集是实数集的子集，$a \in \mathbf{Q} \Rightarrow a \in \mathbf{R}$，充分条件；（2）当$b ＜ 0$时，$a ＜ b \Rightarrow \frac{a}{b} ＞ 1$，不充分；（3）$x ＞ 1 \Rightarrow x^2 ＞ 1$，充分；（4）$(a - 2)(a - 3) = 0 \Rightarrow a = 2$或$3$，不充分；（5）三角形中大角对大边，充分。

活学活用 下列命题中，$p$是否为$q$的充分条件？
（1）$p: a + b = 0$，$q: a^2 + b^2 = 0$。
（2）$p$：四边形的对角线相等，$q$：四边形是矩形。
（3）$p: x = 1$，$q: x^2 - 4x + 3 = 0$。
（4）$p: m ＜ -1$，$q: x^2 - x - m = 0$无实根。

答案： （3）（4）
解析：（1）$a + b = 0$时，$a = 1, b = -1$，$a^2 + b^2 = 2 eq 0$，不充分；（2）等腰梯形对角线相等但不是矩形，不充分；（3）$x = 1$时，$1 - 4 + 3 = 0$，充分；（4）$\Delta = 1 + 4m ＜ 0 \Rightarrow m ＜ -\frac{1}{4}$，$m ＜ -1 \Rightarrow m ＜ -\frac{1}{4}$，充分。

例2 下列“若$p$，则$q$”形式的命题中，哪些命题中的$q$是$p$的必要条件？
（1）若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形的两条对角线相等。
（2）若$\triangle ABC$是直角三角形，则$\triangle ABC$是等腰三角形。
（3）若$\frac{1}{x} = \frac{1}{y}$，则$x = y$。
（4）若关于$x$的方程$ax + b = 0(a, b \in \mathbf{R})$有唯一解，则$a ＞ 0$。

答案： （1）（3）
解析：（1）等腰梯形对角线相等，$p \Rightarrow q$，$q$是必要条件；（2）直角三角形不一定是等腰三角形，不必要；（3）$\frac{1}{x} = \frac{1}{y} \Rightarrow x = y$，必要条件；（4）方程有唯一解$\Rightarrow a eq 0$，不一定$a ＞ 0$，不必要。

活学活用 [多选题]下列“若$p$，则$q$”形式的命题中，$q$是$p$的必要条件的是（ ）
A. 若$|x| ＞ 2$，则$x ＞ 2$
B. 若$\angle A$和$\angle B$是对顶角，则$\angle A = \angle B$
C. 已知$a, b, c, d \in \mathbf{R}$，若$a eq c$，$b eq d$，则$a + b eq c + d$
D. 若四边形$ABCD$是正方形，则四边形$ABCD$的四条边相等

答案： BD
解析：A. $|x| ＞ 2 \Rightarrow x ＞ 2$或$x ＜ -2$，$q$不是必要条件；B. 对顶角相等，$p \Rightarrow q$，必要条件；C. 反例：$a = 1, c = 2, b = 3, d = 2$，$a + b = 4 = c + d$，不必要；D. 正方形四条边相等，必要条件。