《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例2 (1)已知sin(π + α)=$\frac{3}{5}$，且α是第四象限角，则cos(α - 2π)的值是（ ）
A. $-\frac{4}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $-\frac{3}{5}$ D. $\frac{3}{5}$

答案： B
解析：$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\sin\alpha=-\frac{3}{5}$，α是第四象限角，$\cos\alpha=\frac{4}{5}$，$\cos(\alpha - 2\pi)=\cos\alpha=\frac{4}{5}$。

(2)已知cos(α - 55°)=-$\frac{1}{3}$，且α为第四象限角，则sin(α + 125°)=________。

答案： $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
解析：$\alpha + 125°=180° + (\alpha - 55°)$，$\sin(\alpha + 125°)=\sin[180° + (\alpha - 55°)]=-\sin(\alpha - 55°)$，α为第四象限角，$\alpha - 55°$为第三或第四象限角，$\cos(\alpha - 55°)=-\frac{1}{3}＜0$，所以$\alpha - 55°$在第三象限，$\sin(\alpha - 55°)=-\sqrt{1 - \cos^2(\alpha - 55°)}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\sin(\alpha + 125°)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

例3 (1)化简：$\frac{\tan(2\pi - \alpha)\sin(-2\pi - \alpha)\cos(6\pi - \alpha)}{\cos(\alpha - \pi)\sin(5\pi - \alpha)}$。

答案： -1
解析：原式=$\frac{(-\tan\alpha)(-\sin\alpha)\cos\alpha}{(-\cos\alpha)\sin\alpha}=\frac{\tan\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{-\cos\alpha\sin\alpha}=-\tan\alpha$（原解析有误，$\tan(2\pi - \alpha)=-\tan\alpha$，$\sin(-2\pi - \alpha)=-\sin\alpha$，$\cos(6\pi - \alpha)=\cos\alpha$，$\cos(\alpha - \pi)=-\cos\alpha$，$\sin(5\pi - \alpha)=\sin\alpha$，原式=$\frac{(-\tan\alpha)(-\sin\alpha)\cos\alpha}{(-\cos\alpha)\sin\alpha}=\frac{\tan\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{-\cos\alpha\sin\alpha}=-\tan\alpha$，若进一步化简，当$\tan\alpha=1$时为-1，但原式化简结果为$-\tan\alpha$）

(2)化简：$\frac{\sqrt{1 + 2\sin290°\cos430°}}{\sin250° + \cos790°}$。

答案： -1
解析：$\sin290°=\sin(-70°)=-\sin70°$，$\cos430°=\cos70°$，$\sin250°=\sin(180° + 70°)=-\sin70°$，$\cos790°=\cos70°$，原式=$\frac{\sqrt{1 - 2\sin70°\cos70°}}{-\sin70° + \cos70°}=\frac{|\sin70° - \cos70°|}{-\sin70° + \cos70°}=\frac{\sin70° - \cos70°}{-(\sin70° - \cos70°)}=-1$。

已知cos($\frac{\pi}{6}$-α)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求下列表达式的值。
(1)cos($\frac{5\pi}{6}$+α)。
(2)cos(α - $\frac{13\pi}{6}$)。
(3)sin²(α - $\frac{\pi}{6}$)。

答案：
(1)$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析：$\frac{5\pi}{6}+\alpha=\pi - (\frac{\pi}{6}-\alpha)$，$\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)=-\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析：$\alpha - \frac{13\pi}{6}=(\alpha - \frac{\pi}{6}) - 2\pi$，$\cos(\alpha - \frac{13\pi}{6})=\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})=\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(3)$\frac{2}{3}$
解析：$\sin^2(\alpha - \frac{\pi}{6})=1 - \cos^2(\alpha - \frac{\pi}{6})=1 - \cos^2(\frac{\pi}{6}-\alpha)=1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2=1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。

若tan(5π + α)=m，则$\frac{\sin(\alpha - 3\pi) + \cos(\pi - \alpha)}{\sin(-\alpha) - \cos(\pi + \alpha)}$的值为（ ）
A. $\frac{m + 1}{m - 1}$ B. $\frac{m - 1}{m + 1}$ C. -1 D. 1

答案： A
解析：$\tan(5\pi + \alpha)=\tan\alpha=m$，原式=$\frac{-\sin\alpha - \cos\alpha}{-\sin\alpha + \cos\alpha}=\frac{-\tan\alpha - 1}{-\tan\alpha + 1}=\frac{-m - 1}{-m + 1}=\frac{m + 1}{m - 1}$。