《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1 解下列不等式：
(1)$\frac{x+1}{2x-1}＜0.$
(2)$\frac{x^{2}+5x+1}{3+2x-x^{2}}\geq1.$

答案：
(1)$(-1,\frac{1}{2})$
解析：不等式等价于$(x+1)(2x-1)＜0$，解得$-1＜x＜\frac{1}{2}$。
(2)$[-4,-1)\cup(1,3)$
解析：移项通分得$\frac{2x^{2}+3x-2}{-x^{2}+2x+3}\geq0$，即$\frac{(2x-1)(x+2)}{-(x-3)(x+1)}\geq0$，等价于$(2x-1)(x+2)(x-3)(x+1)\leq0$且$xeq-1,3$，解得$-4\leq x＜-1$或$1＜x＜3$。

例2 某地区上一年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的关系式.
(2)设$k=0.2a$，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上一年度至少增长20%？

答案：
(1)$y=(a+\frac{k}{x-0.4})(x-0.3)$，$x\in[0.55,0.75]$
解析：新增用电量为$\frac{k}{x-0.4}$，实际用电量为$a+\frac{k}{x-0.4}$，收益$y=(a+\frac{k}{x-0.4})(x-0.3)$。
(2)0.6元/千瓦时
解析：上一年度收益为$0.5a$，本年度收益需满足$(a+\frac{0.2a}{x-0.4})(x-0.3)\geq0.5a×1.2$，化简得$x^2-1.1x+0.3\geq0$，解得$x\geq0.6$或$x\leq0.5$（舍去），故最低电价为0.6元/千瓦时。

活学活用 解下列不等式：
(1)$\frac{1-x}{3x+5}\geq0.$
(2)$\frac{5x+1}{x+1}＜3.$

答案：
(1)$(-\frac{5}{3},1]$
解析：不等式等价于$(1-x)(3x+5)\geq0$且$3x+5eq0$，解得$-\frac{5}{3}＜x\leq1$。
(2)$(-1,1)$
解析：移项通分得$\frac{2x-2}{x+1}＜0$，等价于$(2x-2)(x+1)＜0$，解得$-1＜x＜1$。