《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

（1）已知函数$f(x)$满足$f(x - 1)=\frac{x}{x + 1}$，则函数$f(x)$的解析式为______。
（2）已知$f(\sqrt{x} + 1)=x + 2\sqrt{x}$，则$f(x)$的解析式为______。

答案： （1）$f(x)=\frac{x + 1}{x + 2}(xeq - 2)$
解析：令$t=x - 1$，则$x=t + 1$，$f(t)=\frac{t + 1}{t + 1 + 1}=\frac{t + 1}{t + 2}$，所以$f(x)=\frac{x + 1}{x + 2}(xeq - 2)$。
（2）$f(x)=x^2 - 1(x\geq1)$
解析：$f(\sqrt{x} + 1)=(\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}=(\sqrt{x} + 1)^2 - 1$，令$t=\sqrt{x} + 1(t\geq1)$，则$f(t)=t^2 - 1$，所以$f(x)=x^2 - 1(x\geq1)$。

（1）已知$f(\sqrt{x} + 1)=2x + 3$，求$f(x)$。
（2）已知$f(x + 2)=2x + 3$，求$f(x)$。

答案： （1）$f(x)=2x^2 - 4x + 5(x\geq1)$
解析：令$t=\sqrt{x} + 1(t\geq1)$，则$\sqrt{x}=t - 1$，$x=(t - 1)^2$，$f(t)=2(t - 1)^2 + 3=2t^2 - 4t + 5$，所以$f(x)=2x^2 - 4x + 5(x\geq1)$。
（2）$f(x)=2x - 1$
解析：令$t=x + 2$，则$x=t - 2$，$f(t)=2(t - 2)+3=2t - 1$，所以$f(x)=2x - 1$。

已知函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，且$f(x)=2f\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\sqrt{x}-1$，求$f(x)$的解析式。

答案： $f(x)=\frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{3}$
解析：用$\frac{1}{x}$代替$x$得$f\left(\frac{1}{x}\right)=2f(x)\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}-1$，联立方程$\begin{cases}f(x)=2f\left(\frac{1}{x}\right)\sqrt{x}-1\\f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{2f(x)}{\sqrt{x}}-1\end{cases}$，将第二个方程代入第一个方程得$f(x)=2\left(\frac{2f(x)}{\sqrt{x}}-1\right)\sqrt{x}-1=4f(x)-2\sqrt{x}-1$，解得$f(x)=\frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{3}$。

（1）已知函数$f(x)$的定义域为$R$，对任意$x\in R$均满足$2f(x)-f(-x)=4x + 1$，则函数$f(x)$的解析式为（ ）
A.$f(x)=\frac{4}{3}x + 1$
B.$f(x)=\frac{4}{3}x - 1$
C.$f(x)=-\frac{1}{3}x + 1$
D.$f(x)=-\frac{1}{3}x - 1$
（2）已知定义在$(0,+\infty)$上的函数$f(x)$满足$f(x)-4f\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{15}{x}$，则$f(2)$的值为（ ）
A.$\frac{15}{2}$
B.$\frac{15}{4}$
C.$\frac{17}{4}$
D.$\frac{17}{2}$

答案： （1）A
解析：由$2f(x)-f(-x)=4x + 1$，用$-x$代替$x$得$2f(-x)-f(x)=-4x + 1$，联立方程组$\begin{cases}2f(x)-f(-x)=4x + 1\\2f(-x)-f(x)=-4x + 1\end{cases}$，解得$f(x)=\frac{4}{3}x + 1$，选A。
（2）C
解析：用$\frac{1}{x}$代替$x$得$f\left(\frac{1}{x}\right)-4f(x)=-15x$，联立方程$\begin{cases}f(x)-4f\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{15}{x}\\f\left(\frac{1}{x}\right)-4f(x)=-15x\end{cases}$，解得$f(x)=4x + \frac{3}{x}$，则$f(2)=8 + \frac{3}{2}=\frac{19}{2}$。（注：原答案中选项无$\frac{19}{2}$，可能题目或答案有误，若按选项推测，可能计算过程中存在错误，此处按正确计算过程保留）