《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

一般地，如果$x^{n}=a$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根，其中$n ＞ 1$，且$n\in\mathbf{N}^{*}$．可用下表表示：
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{n为奇数} & \multicolumn{3}{c|}{n为偶数} \\
\hline
a\in\mathbf{R} & a ＞ 0 & a = 0 & a ＜ 0 \\
\hline
x=\sqrt[n]{a} & x=\_\_\_\_\sqrt[n]{a} & x=\_\_\_\_ & \_\_\_\_ \\
\hline
\end{array}
（2）性质：当$n ＞ 1$，$n\in\mathbf{N}^{*}$时，②$\sqrt[n]{a^{n}}=\begin{cases}\_\_\_\_,n为奇数,\\\_\_\_\_,n为偶数.\end{cases}$
有理数指数幂的运算性质：（1）$a^{r}a^{s}=\_\_\_\_(a ＞ 0,r,s\in\mathbf{Q})$．（2）$(a^{r})^{s}=\_\_\_\_(a ＞ 0,r,s\in\mathbf{Q})$．（3）$(ab)^{r}=\_\_\_\_(a ＞ 0,b ＞ 0,r\in\mathbf{Q})$．
例1 化简下列根式．（1）$\sqrt[5]{(-3)^{5}}$．（2）$\sqrt[4]{(-3)^{2}}$．（3）$\sqrt[3]{(\pi - 4)^{2}}$．（4）$\sqrt[3]{-x^{6}y^{9}z^{12}}$（其中$x ＜ 0,y ＜ 0,z ＜ 0$）．

答案： 表格填空：$n$为偶数，$a ＞ 0$时$x=\pm\sqrt[n]{a}$；$a = 0$时$x = 0$；$a ＜ 0$时无意义．性质②：$n$为奇数时$\sqrt[n]{a^{n}}=a$；$n$为偶数时$\sqrt[n]{a^{n}}=|a|$．运算性质：（1）$a^{r + s}$；（2）$a^{rs}$；（3）$a^{r}b^{r}$．
例1（1）$-3$；（2）$\sqrt{3}$；（3）$(4 - \pi)^{\frac{2}{3}}$；（4）$x^{2}y^{3}z^{4}$．
解析：
例1（1）$\sqrt[5]{(-3)^{5}}=-3$．
（2）$\sqrt[4]{(-3)^{2}}=\sqrt[4]{9}=3^{\frac{2}{4}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$．
（3）$\sqrt[3]{(\pi - 4)^{2}}=(4 - \pi)^{\frac{2}{3}}$（因为$\pi - 4 ＜ 0$，偶次幂后开奇次方）．
（4）$\sqrt[3]{-x^{6}y^{9}z^{12}}=\sqrt[3]{(-1)x^{6}y^{9}z^{12}}=-x^{2}y^{3}z^{4}$，但$x ＜ 0,y ＜ 0,z ＜ 0$，$x^{6}=(x^{2})^{3}$，$\sqrt[3]{x^{6}}=x^{2}$，同理$y^{9}=(y^{3})^{3}$，$\sqrt[3]{y^{9}}=y^{3}$，$z^{12}=(z^{4})^{3}$，$\sqrt[3]{z^{12}}=z^{4}$，所以$\sqrt[3]{-x^{6}y^{9}z^{12}}=-\sqrt[3]{x^{6}y^{9}z^{12}}=-x^{2}y^{3}z^{4}$，又因为$y ＜ 0$，$y^{3} ＜ 0$，所以$-x^{2}y^{3}z^{4}=-x^{2}(-|y|)^{3}(-|z|)^{4}=-x^{2}(-|y|^{3})|z|^{4}=x^{2}|y|^{3}|z|^{4}$，但题目要求化简，直接写$-x^{2}y^{3}z^{4}$即可．