《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

下列四组函数中，两者表示同一个函数的是（ ）
A.$f(x)=\sqrt{x + 2}\cdot\sqrt{x - 2}$，$g(x)=\sqrt{x^2 - 4}$
B.$f(x)=\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1}$，$g(x)=x + 2$
C.$f(x)=\frac{1}{x}$，$g(t)=\frac{t}{t^2}$
D.$f(x)=\sqrt{x^2}$，$g(x)=x$

答案： C
解析：A选项$f(x)$定义域为$x\geq2$，$g(x)$定义域为$x\leq - 2$或$x\geq2$，定义域不同；B选项$f(x)$定义域为$xeq1$，$g(x)$定义域为$R$，定义域不同；C选项$g(t)=\frac{t}{t^2}=\frac{1}{t}(teq0)$，与$f(x)=\frac{1}{x}(xeq0)$定义域和对应关系都相同；D选项$f(x)=\sqrt{x^2}=|x|$，与$g(x)=x$对应关系不同，所以选C。

（1）若函数$y = f(3x + 1)$的定义域为$[-2,4]$，则$y = f(x)$的定义域是（ ）
A.$[-1,1]$
B.$[-5,13]$
C.$[-5,1]$
D.$[-1,13]$
（2）若函数$y = f(x)$的定义域是$[-1,3]$，则$f(2x + 1)$的定义域为______。

答案： （1）B
解析：函数$y = f(3x + 1)$的定义域为$[-2,4]$，即$-2\leq x\leq4$，则$3x + 1$的范围是$3×(-2)+1=-5$到$3×4 + 1=13$，所以$y = f(x)$的定义域是$[-5,13]$，选B。
（2）$[-1,1]$
解析：函数$y = f(x)$的定义域是$[-1,3]$，则$f(2x + 1)$中$-1\leq2x + 1\leq3$，解得$-1\leq x\leq1$，所以定义域为$[-1,1]$。

已知函数$f(x - 1)$的定义域为$\{x|-2\leq x\leq3\}$，求函数$f(2x + 1)$的定义域。

答案： $[-2,1]$
解析：函数$f(x - 1)$的定义域为$[-2,3]$，即$-2\leq x\leq3$，则$x - 1$的范围是$-3\leq x - 1\leq2$，所以$f(x)$的定义域是$[-3,2]$。对于$f(2x + 1)$，有$-3\leq2x + 1\leq2$，解得$-2\leq x\leq\frac{1}{2}$，所以定义域为$[-2,\frac{1}{2}]$。（注：原答案“$[-2,1]$”错误，修正为$[-2,\frac{1}{2}]$）

求下列函数的值域：
(1)$f(x)=2x + 1$，$x\in\{1,2,3,4,5\}$。
(2)$f(x)=\frac{3x - 1}{x + 1}$。
(3)$f(x)=x + \sqrt{x}$。

答案：
(1)$\{3,5,7,9,11\}$
解析：当$x = 1$时，$f(1)=3$；$x = 2$时，$f(2)=5$；$x = 3$时，$f(3)=7$；$x = 4$时，$f(4)=9$；$x = 5$时，$f(5)=11$，所以值域为$\{3,5,7,9,11\}$。
(2)$(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$
解析：$f(x)=\frac{3x - 1}{x + 1}=\frac{3(x + 1)-4}{x + 1}=3-\frac{4}{x + 1}$，因为$\frac{4}{x + 1}eq0$，所以$f(x)eq3$，值域为$(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$。
(3)$[0,+\infty)$
解析：令$t=\sqrt{x}(t\geq0)$，则$f(x)=t^2 + t=(t + \frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$，当$t = 0$时，最小值为$0$，所以值域为$[0,+\infty)$。

求下列函数的值域：
(1)$y = 2x - 1(x\in N^{*})$。
(2)$y=\frac{1}{2 + x^2}$。
(3)$y = x^2 - 2x + 3$，$x\in[0,3)$。

答案：
(1)$\{1,3,5,\cdots\}$
解析：$x\in N^{*}$，即$x = 1,2,3,\cdots$，则$y = 2x - 1=1,3,5,\cdots$，值域为正奇数集$\{1,3,5,\cdots\}$。
(2)$(0,\frac{1}{2}]$
解析：因为$x^2\geq0$，所以$2 + x^2\geq2$，则$0＜\frac{1}{2 + x^2}\leq\frac{1}{2}$，值域为$(0,\frac{1}{2}]$。
(3)$[2,6)$
解析：$y = x^2 - 2x + 3=(x - 1)^2 + 2$，$x\in[0,3)$，当$x = 1$时，最小值为$2$；当$x = 3$时，$y = 6$，但$x＜3$，所以值域为$[2,6)$。