《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例3 某公司研发A，B两种芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测：生产A芯片的毛收入$ y_{1} $（单位：千万元）与投入的资金$ x $（单位：千万元）成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入$ y_{2} $（单位：千万元）与投入的资金$ x $（单位：千万元）的函数关系为$ y_{2}=kx^{\alpha}(x＞0) $（$ k $与$ \alpha $都为常数），其图象如下图所示.
(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入与投入资金的函数关系式.

答案： $ y_{1}=0.25x $，$ y_{2}=x^{\frac{1}{2}} $
解析：设$ y_{1}=kx $，由投入1千万元，收入0.25千万元，得$ k=0.25 $，即$ y_{1}=0.25x $.由图象知，当$ x=1 $时，$ y_{2}=1 $；当$ x=4 $时，$ y_{2}=2 $，所以$ 1=k×1^{\alpha} $，$ k=1 $，$ 2=1×4^{\alpha} $，$ 4^{\alpha}=2 $，$ \alpha=\frac{1}{2} $，即$ y_{2}=x^{\frac{1}{2}} $.

例4 某企业为进一步提高市场竞争力，计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产$x$（千部）手机，需另外投入成本$R(x)$万元，其中$R(x)=\begin{cases}10x^{2}+100x + 800,0 ＜ x ＜ 50,\\504x+\frac{10000}{x - 2}-6450,x\geq50.\end{cases}$已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年可以全部销售完．
（1）求2025年该款手机的利润$y$（万元）关于年产量$x$（千部）的函数关系式．
（2）2025年年产量$x$（千部）为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？

答案： （1）$y=\begin{cases}-10x^{2}+400x - 1050,0 ＜ x ＜ 50,\\10000 - \left(x - 2+\frac{10000}{x - 2}\right),x\geq50;\end{cases}$（2）年产量为102千部时，最大利润10000万元．
解析：
（1）售价5000元/部，$x$千部收入$5000×1000x÷10000=500x$万元．
成本：研发250万+$R(x)$，利润$y=500x - R(x)-250$．
当$0 ＜ x ＜ 50$时，$y=500x-(10x^{2}+100x + 800)-250=-10x^{2}+400x - 1050$．
当$x\geq50$时，$y=500x-(504x+\frac{10000}{x - 2}-6450)-250=500x - 504x-\frac{10000}{x - 2}+6450 - 250=-4x-\frac{10000}{x - 2}+6200= - 4(x - 2 + 2)-\frac{10000}{x - 2}+6200= - 4(x - 2)-\frac{10000}{x - 2}+6208=10000 - \left[4(x - 2)+\frac{10000}{x - 2}\right]+6208 - 10000$？不对，直接化简$y=-4x-\frac{10000}{x - 2}+6200= - 4(x - 2)-8-\frac{10000}{x - 2}+6200= - \left[4(x - 2)+\frac{10000}{x - 2}\right]+6192$．
（2）当$0 ＜ x ＜ 50$时，$y=-10(x - 20)^{2}+2950$，$x = 20$时，$y_{max}=2950$．
当$x\geq50$时，$4(x - 2)+\frac{10000}{x - 2}\geq2\sqrt{4(x - 2)×\frac{10000}{x - 2}}=400$，当且仅当$4(x - 2)=\frac{10000}{x - 2}$，$x - 2 = 50$，$x = 52$时，$y_{max}=-400 + 6192=5792$．
所以最大利润5792万元，此时$x = 52$千部．原答案“10000万元”错误，正确答案为年产量52千部时，最大利润5792万元．