《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假。
（1）有的集合中存在两个相同的元素。
（2）$\forall a, b \in \mathbf{R}, (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$。
（3）对任意直角三角形的两个锐角$A, B$，都有$\sin A = \cos B$。
（4）存在一个角$\alpha$，使$\sin \alpha = \frac{1}{2}$。

答案： （1）存在量词命题，真；（2）全称量词命题，真；（3）全称量词命题，真；（4）存在量词命题，真
解析：（1）集合中元素具有互异性，假；（2）乘法公式展开等式成立；（3）直角三角形两锐角互余，$\sin A = \cos(90° - A) = \cos B$；（4）如$\alpha = 30°$。

活学活用 已知命题$p: \forall x \in \{ x | \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \}, \frac{1}{x} - a \geq 0$是真命题，求实数$a$的取值范围。

答案： a ≤ 1
解析：$\frac{1}{x} - a \geq 0 \Rightarrow a \leq \frac{1}{x}$，$x \in [\frac{1}{2},1]$时，$\frac{1}{x} \in [1,2]$，$a \leq 1$。

已知集合$A=\{x\mid 2\leqslant x\leqslant 7\},B=\{x\mid -3m+4\leqslant x\leqslant 2m-1\}$.
(1)若命题$p:\forall x\in A,x\in B$是真命题,求实数$m$的取值范围.
(2)若命题$q:\exists x\in A,x\in B$是真命题,求实数$m$的取值范围.

答案：
(1)$m\geqslant 4$；
(2)$m\geqslant \dfrac{5}{2}$
解析：
(1)因为命题$p$是真命题，所以$A\subseteq B$。则有$\begin{cases}-3m + 4\leqslant 2 \\2m - 1\geqslant 7\end{cases}$，解得$\begin{cases}m\geqslant \dfrac{2}{3} \\m\geqslant 4\end{cases}$，所以$m\geqslant 4$。
(2)因为命题$q$是真命题，所以$A\cap Beq \varnothing$。若$B=\varnothing$，则$-3m + 4 ＞ 2m - 1$，解得$m ＜ 1$，此时$A\cap B=\varnothing$，不符合题意。若$Beq \varnothing$，则$m\geqslant 1$，且需满足$-3m + 4\leqslant 7$或$2m - 1\geqslant 2$，解得$m\geqslant -1$或$m\geqslant \dfrac{3}{2}$，又$m\geqslant 1$，所以$m\geqslant \dfrac{5}{2}$。