《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例2 设$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，且$f(x)+g(x)=x^{2}+2x$，求函数$f(x)$，$g(x)$的解析式。

答案： $f(x)=x^{2}$，$g(x)=2x$
解析：因为$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，所以$f(-x)=f(x)$，$g(-x)=-g(x)$。由$f(x)+g(x)=x^{2}+2x$，得$f(-x)+g(-x)=x^{2}-2x$，即$f(x)-g(x)=x^{2}-2x$。联立解得$f(x)=x^{2}$，$g(x)=2x$。

活学活用 已知$f(x)$，$g(x)$分别是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数和偶函数，且$f(x)+g(x)=x^{2}+2x + 3$，则$f(x)-g(x)=$______。

答案： $-x^{2}+2x - 3$
解析：$f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=x^{2}-2x + 3$，与$f(x)+g(x)=x^{2}+2x + 3$相减得$-2f(x)=-4x$，$f(x)=2x$，$g(x)=x^{2}+3$，所以$f(x)-g(x)=-x^{2}+2x - 3$。

例3 (1)若对于任意实数$x$总有$f(-x)=f(x)$，且$f(x)$在区间$(-\infty,-1]$上单调递增，则（ ）A.$f(-\frac{3}{2})＜f(-1)＜f(2)$ B.$f(2)＜f(-\frac{3}{2})＜f(-1)$ C.$f(2)＜f(-1)＜f(-\frac{3}{2})$ D.$f(-1)＜f(-\frac{3}{2})＜f(2)$ (2)已知$f(x)$是奇函数，且在区间$[0,+\infty)$上单调递增，则$f(-0.5)$，$f(-1)$，$f(0)$的大小关系是（ ）A.$f(-0.5)＜f(0)＜f(-1)$ B.$f(-1)＜f(-0.5)＜f(0)$ C.$f(0)＜f(-0.5)＜f(-1)$ D.$f(-1)＜f(0)＜f(-0.5)$

答案：
(1)B
解析：$f(x)$为偶函数，在$(-\infty,-1]$上递增，则在$[1,+\infty)$上递减，$f(2)=f(-2)$，$-2＜-\frac{3}{2}＜-1$，所以$f(-2)＜f(-\frac{3}{2})＜f(-1)$，即$f(2)＜f(-\frac{3}{2})＜f(-1)$，选B。
(2)C
解析：奇函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上递增，则在$(-\infty,0]$上递增，$f(-1)=-f(1)$，$f(-0.5)=-f(0.5)$，$f(0)=0$，因为$0.5＜1$，所以$f(0.5)＜f(1)$，$-f(0.5)＞-f(1)$，即$f(-1)＜f(-0.5)＜f(0)$，选C。

例4 已知定义在$[-2,2]$上的奇函数$f(x)$在区间$[0,2]$上单调递减，若$f(1 - m)＜f(m)$，求实数$m$的取值范围。

答案： $[-1,\frac{1}{2})$
解析：奇函数$f(x)$在$[0,2]$上递减，则在$[-2,0]$上递减，即$f(x)$在$[-2,2]$上递减。所以$\begin{cases}-2\leq1 - m\leq2\\-2\leq m\leq2\\1 - m ＞ m\end{cases}$，解得$-1\leq m＜\frac{1}{2}$。

活学活用 定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，且$f(-2)=1$，则满足$-1\leq f(x - 1)\leq1$的$x$的取值范围是（ ）A.$[-2,2]$ B.$[-2,1]$ C.$[-1,3]$ D.$[0,2]$

答案： C
解析：$f(x)$为奇函数，$f(2)=-f(-2)=-1$，$f(x)$在$\mathbf{R}$上递减。$-1\leq f(x - 1)\leq1$即$f(2)\leq f(x - 1)\leq f(-2)$，所以$-2\leq x - 1\leq2$，$-1\leq x\leq3$，选C。