《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

(1)若$x$，$y\in\mathbf{R}$且$xy＞0$，则下列结论正确的是（ ）
A. $x^2 + y^2＞2xy$
B. $x + y\geqslant2\sqrt{xy}$
C. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geqslant\frac{2}{\sqrt{xy}}$
D. $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geqslant2$
(2)很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明。如图，点$F$在半圆$O$的圆弧上，点$C$在半径$OB$上，且$OF\perp AB$，设$AC = a$，$BC = b$，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A. $\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$
B. $\frac{a + b}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$
C. $\frac{2ab}{a + b}\leqslant\sqrt{ab}$
D. $a^2 + b^2\geqslant2ab$

答案：
(1)D；
(2)A
解析：
(1)A选项，当$x = y$时，$x^2 + y^2=2xy$，故A错误；B、C选项，当$x$，$y$为负数时不成立，故B、C错误；D选项，由基本不等式得$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geqslant2$，故选D。
(2)由图形可知，$OF=\frac{a + b}{2}$，$CF=\sqrt{ab}$，且$OF\geqslant CF$，即$\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，故选A。

(2)已知$4x+\frac{a}{x}(x＞0,a＞0)$在$x = 3$时取得最小值，求$a$的值。

答案： 36
解析：$4x+\frac{a}{x}\geqslant2\sqrt{4x\cdot\frac{a}{x}}=4\sqrt{a}$，当且仅当$4x=\frac{a}{x}$即$x=\frac{\sqrt{a}}{2}$时取等号，由$\frac{\sqrt{a}}{2}=3$得$a = 36$。

(1)已知$x＞0$，则$2x+\frac{4}{2x + 1}$的最小值为______。
(2)已知$0＜x＜\frac{1}{2}$，求$y=\frac{1}{2}x(1 - 2x)$的最大值。

答案：
(1)$3$；
(2)$\frac{1}{16}$
解析：
(1)令$t = 2x + 1(t＞1)$，则$x=\frac{t - 1}{2}$，原式$=t - 1+\frac{4}{t}=t+\frac{4}{t}-1\geqslant2\sqrt{t\cdot\frac{4}{t}}-1=3$，当$t = 2$即$x=\frac{1}{2}$时取等号。
(2)$y=\frac{1}{4}\cdot2x(1 - 2x)\leqslant\frac{1}{4}(\frac{2x + 1 - 2x}{2})^2=\frac{1}{16}$，当$2x = 1 - 2x$即$x=\frac{1}{4}$时取等号。

例2 (1)设$0＜x＜2$，求$\sqrt{3x(8 - 3x)}$的最大值。

答案： 4
解析：$3x(8 - 3x)\leqslant(\frac{3x + 8 - 3x}{2})^2 = 16$，当$3x = 8 - 3x$即$x=\frac{4}{3}$时取等号，所以$\sqrt{3x(8 - 3x)}$最大值为$4$。