《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例3 (1)已知函数$f(x)=x^{4}+(b - 3)x^{3}$是定义在$[a - 15,4a]$上的偶函数，则$a + b=$（ ）A.4 B.6 C.8 D.0 (2)已知函数$f(x)=x^{7}-ax^{5}+bx^{3}+cx + 2$，若$f(-3)=-3$，则$f(3)=$______。

答案：
(1)A
解析：偶函数定义域关于原点对称，$a - 15 + 4a=0$，解得$a = 3$；且奇次项系数为$0$，$b - 3=0$，$b = 3$，所以$a + b=6$，选B。
(2)7
解析：设$g(x)=x^{7}-ax^{5}+bx^{3}+cx$，则$g(x)$为奇函数，$f(x)=g(x)+2$。$f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2=-3$，所以$g(3)=5$，$f(3)=g(3)+2=7$。

活学活用 (1)已知函数$f(x)=ax^{2}+2x$是奇函数，则$f(1)=$______。(2)设函数$f(x)=\frac{(x + 1)(x + a)}{x}$为奇函数，则$a=$______。

答案：
(1)2
解析：奇函数$f(-x)=-f(x)$，$ax^{2}-2x=-ax^{2}-2x$，所以$a = 0$，$f(x)=2x$，$f(1)=2$。
(2)-1
解析：$f(-x)=\frac{(-x + 1)(-x + a)}{-x}=-\frac{(x - 1)(x - a)}{x}$，$f(x)$为奇函数，$f(-x)=-f(x)$，即$-\frac{(x - 1)(x - a)}{x}=-\frac{(x + 1)(x + a)}{x}$，解得$a=-1$。

例1 若函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x ＞ 0$时，$f(x)=x^{2}-2x - 1$，求函数$f(x)$的解析式。

答案： $f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x - 1,x ＞ 0\\0,x = 0\\-x^{2}-2x + 1,x ＜ 0\end{cases}$
解析：当$x = 0$时，$f(0)=0$；当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，$f(-x)=(-x)^{2}-2(-x)-1=x^{2}+2x - 1$，因为奇函数$f(-x)=-f(x)$，所以$f(x)=-x^{2}-2x + 1$。

活学活用 如果函数$f(x)=\begin{cases}x(x - 1),x ＞ 0\\g(x),x ＜ 0\end{cases}$是奇函数，那么$g(x)=$（ ）A.$-x(x + 1)$ B.$x(x + 1)$ C.$x(x - 1)$ D.$-x(x - 1)$

答案： A
解析：当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，$f(-x)=-x(-x - 1)=x(x + 1)$，因为奇函数$f(-x)=-f(x)$，所以$f(x)=-x(x + 1)$，即$g(x)=-x(x + 1)$，选A。