《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

课时构建 填写对数的运算性质：如果$a＞0$，且$a≠1$，$M＞0$，$N＞0$，那么
(1)$\log_a(MN)=$______
(2)$\log_a\frac{M}{N}=$______
(3)$\log_aM^n=$______$(n∈\mathbf{R})$

答案：
(1)$\log_aM + \log_aN$
(2)$\log_aM - \log_aN$
(3)$n\log_aM$

例1 计算：
(1)$\ln e^2=$______
(2)$\log_3e + \log_3\frac{3}{e}=$______
(3)$\lg50 - \lg5=$______

答案：
(1)2
解析：$\ln e^2=2\ln e=2×1=2$。
(2)1
解析：$\log_3(e×\frac{3}{e})=\log_33=1$。
(3)1
解析：$\lg\frac{50}{5}=\lg10=1$。

活学活用 求下列各式的值：
(1)$\log_5(27×9^2)$
(2)$\ln3 + \ln\frac{1}{3}$
(3)$\log_35 - \log_315$

答案：
(1)7
解析：$\log_3(3^3×3^4)=\log_33^7=7$。（注：题目应为$\log_3(27×9^2)$，否则无法计算，此处按$\log_3$计算）
(2)0
解析：$\ln(3×\frac{1}{3})=\ln1=0$。
(3)-1
解析：$\log_3\frac{5}{15}=\log_3\frac{1}{3}=-1$。

例2 已知$A = \log_{a}x,B=\log_{a}y,C=\log_{a}z(a＞0$,且$a≠1,x,y,z＞0)$.用$A,B$及$C$表示下列各式：
(1)$\log_{a}(xy^{2})$.
(2)$\log_{a}\frac{xy}{\sqrt{z}}$.
(3)$\log_{a}(x^{2}y^{2})+\log_{a}(y\sqrt{x})$.

答案：
(1)$A + 2B$
解析：$\log_{a}(xy^{2})=\log_{a}x+\log_{a}y^{2}=A + 2B$。
(2)$A + B-\frac{1}{2}C$
解析：$\log_{a}\frac{xy}{\sqrt{z}}=\log_{a}(xy)-\log_{a}\sqrt{z}=\log_{a}x+\log_{a}y-\frac{1}{2}\log_{a}z=A + B-\frac{1}{2}C$。
(3)$\frac{5}{2}A + 3B$
解析：$\log_{a}(x^{2}y^{2})+\log_{a}(y\sqrt{x})=\log_{a}x^{2}+\log_{a}y^{2}+\log_{a}y+\log_{a}x^{\frac{1}{2}}=2A + 2B + B+\frac{1}{2}A=\frac{5}{2}A + 3B$。