《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1 已知函数$ f(x)=ax + \frac{b}{x} $，其中$ a,b $为常数，且$ f(1)=5 $，$ f(2)=4 $.
(1)求$ a,b $的值.

答案： $ a=1 $，$ b=4 $
解析：由$ f(1)=a + b=5 $，$ f(2)=2a + \frac{b}{2}=4 $，联立方程组$ \begin{cases}a + b=5\\4a + b=8\end{cases} $，解得$ a=1 $，$ b=4 $.

(2)利用单调性的定义证明函数$ f(x) $在区间$ (0,2) $上单调递减.

答案： 证明见解析
证明：$ f(x)=x + \frac{4}{x} $，任取$ x_{1},x_{2}\in(0,2) $，且$ x_{1}＜x_{2} $，则$ f(x_{1}) - f(x_{2})=x_{1} + \frac{4}{x_{1}} - x_{2} - \frac{4}{x_{2}}=(x_{1} - x_{2}) + \frac{4(x_{2} - x_{1})}{x_{1}x_{2}}=(x_{1} - x_{2})\left(1 - \frac{4}{x_{1}x_{2}}\right) $.因为$ x_{1}＜x_{2} $，所以$ x_{1} - x_{2}＜0 $，$ x_{1}x_{2}＜4 $，$ \frac{4}{x_{1}x_{2}}＞1 $，$ 1 - \frac{4}{x_{1}x_{2}}＜0 $，所以$ f(x_{1}) - f(x_{2})＞0 $，即$ f(x_{1})＞f(x_{2}) $，故函数$ f(x) $在$ (0,2) $上单调递减.

(3)求函数$ f(x) $在区间$ [1,3] $上的最大值和最小值.

答案： 最大值为5，最小值为4
解析：由（2）知$ f(x) $在$ [1,2] $上单调递减，在$ [2,3] $上单调递增. $ f(1)=5 $，$ f(2)=4 $，$ f(3)=3 + \frac{4}{3}=\frac{13}{3}\approx4.33 $，故最大值为5，最小值为4.

例2 研究$ f(x)=x - \frac{1}{x} $的图象与性质.

答案： 定义域$ \{x|xeq0\} $，值域$ \mathbf{R} $，奇函数，在$ (-\infty,0),(0,+\infty) $上单调递增
解析：定义域$ \{x|xeq0\} $.$ f(-x)=-x + \frac{1}{x}=-f(x) $，奇函数.任取$ x_{1},x_{2}\in(0,+\infty) $，$ x_{1}＜x_{2} $，$ f(x_{1}) - f(x_{2})=x_{1} - \frac{1}{x_{1}} - x_{2} + \frac{1}{x_{2}}=(x_{1} - x_{2}) + \frac{x_{1} - x_{2}}{x_{1}x_{2}}=(x_{1} - x_{2})\left(1 + \frac{1}{x_{1}x_{2}}\right)＜0 $，所以在$ (0,+\infty) $上单调递增，同理在$ (-\infty,0) $上单调递增.值域为$ \mathbf{R} $.

活学活用 已知函数$ f(x)=x + \frac{1}{x} $.
(1)若$ x\in[1,3] $，则$ f(x) $的最小值是______.

答案： 2
解析：函数$ f(x)=x + \frac{1}{x} $在$ [1,+\infty) $上单调递增，所以在$ [1,3] $上最小值为$ f(1)=2 $.

(2)若$ x\in\left[\frac{1}{2},3\right] $，则$ f(x) $的值域为______.

答案： $[2,\frac{10}{3}]$
解析：函数在$ [\frac{1}{2},1] $上单调递减，在$ [1,3] $上单调递增，$ f(\frac{1}{2})=\frac{5}{2} $，$ f(1)=2 $，$ f(3)=\frac{10}{3} $，故值域为$ [2,\frac{10}{3}] $.

(3)若$ x\in\left[-\frac{1}{2},0\right)\cup(0,3] $，则$ f(x) $的值域为______.

答案： $(-\infty,-\frac{5}{2}]\cup[2,+\infty)$
解析：当$ x\in(0,3] $时，值域为$ [2,\frac{10}{3}] $；当$ x\in\left[-\frac{1}{2},0\right) $时，$ f(x)=x + \frac{1}{x} $单调递增，$ f(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{2} $，所以值域为$(-\infty,-\frac{5}{2}]$.综上，值域为$(-\infty,-\frac{5}{2}]\cup[2,+\infty)$.

活学活用 (1)函数$ f(x)=\frac{1}{x} - 2x $在区间$ (-2,-1] $上的最小值为（ ）
A. 1 B. $ \frac{7}{2} $ C. $ -\frac{7}{2} $ D. -1

答案： C
解析：函数$ f(x)=\frac{1}{x} - 2x $在$ (-2,-1] $上单调递减，所以最小值为$ f(-1)=-1 - 2×(-1)=1 $，选A.

(2)函数$ f(x)=|x| - \frac{1}{x} $的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

答案： D
解析：当$ x＞0 $时，$ f(x)=x - \frac{1}{x} $，单调递增；当$ x＜0 $时，$ f(x)=-x - \frac{1}{x} $，$ f(-1)=2 $，$ f(-2)=\frac{5}{2} $，单调递增，只有选项D符合.