《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

一般地，对于两个集合$A,B$，如果集合$A$中______元素都是集合$B$中的元素，就称集合$A$为集合$B$的子集

答案： 任意一个；$\subseteq$

一般地，如果集合$A$的______元素都是集合$B$的元素，同时集合$B$的任何一个元素都是集合$A$的元素，那么集合$A$与集合$B$______，记作$A = B$，也就是说，若$A\subseteq B$，且$B\subseteq A$，则$A = B$．

答案： 任意一个；相等

如果集合$A\subseteq B$，但______元素$x\in B$，且$xotin A$，就称集合$A$是集合$B$的______，记作$A\subsetneqq B$（或$B\supsetneqq A$）．

答案： 存在；真子集

一般地，我们把______的集合叫做空集，记作$\varnothing$．

答案： 不含任何元素

指出下列各组集合之间的关系：
（1）$A = \{1,2,3\}$，$B = \{x|(x - 1)(x - 2)=0\}$．

答案： $B\subsetneqq A$
解析：解方程$(x - 1)(x - 2)=0$，$x=1$或$x=2$，所以$B=\{1,2\}$，$B$是$A$的真子集，即$B\subsetneqq A$。

（2）$A = \{x|x$是正方形$\}$，$B = \{x|x$是矩形$\}$．

答案： $A\subsetneqq B$
解析：正方形是特殊的矩形，所以所有正方形都是矩形，且存在矩形不是正方形，故$A\subsetneqq B$。

（3）$M = \{y|y = x^{2}-2x - 1,x\in\mathbf{R}\}$，$N = \{x|-2\leq x\leq4\}$．

答案： $M$与$N$无包含关系
解析：$y=x^{2}-2x - 1=(x - 1)^{2}-2\geq - 2$，所以$M = \{y|y\geq - 2\}$，$N = \{x|-2\leq x\leq4\}$，$M$包含大于4的元素，$N$不包含，故$M$与$N$无包含关系。

（4）$M = \{x|x\in\mathbf{N}^{*}$，$x$是4和6的公倍数$\}$，$N = \{x|x = 12n,n\in\mathbf{N}^{*}\}$．

答案： $M = N$
解析：4和6的最小公倍数是12，所以4和6的公倍数是12的正整数倍，即$M = \{x|x = 12n,n\in\mathbf{N}^{*}\}=N$。