《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号“$\forall$”或“$\exists$”表示。
（1）所有实数$x$都能使$x^2 + x + 1 ＞ 0$成立。
（2）对所有实数$a, b$，方程$ax + b = 0$恰有一个解。
（3）一定有整数$x, y$，使得$3x - 2y = 10$成立。
（4）所有的有理数$x$都能使$\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x + 1$是有理数。

答案： （1）全称量词命题，$\forall x \in \mathbf{R}, x^2 + x + 1 ＞ 0$；（2）全称量词命题，$\forall a, b \in \mathbf{R}, ax + b = 0$恰有一解；（3）存在量词命题，$\exists x, y \in \mathbf{Z}, 3x - 2y = 10$；（4）全称量词命题，$\forall x \in \mathbf{Q}, \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 \in \mathbf{Q}$

例2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假。
（1）$\forall x \in \mathbf{N}, 2x + 1$是奇数。
（2）存在一个$x \in \mathbf{R}$，使$\frac{1}{x - 1} = 0$。
（3）对任意实数$a$，$|a| ＞ 0$。
（4）存在一个角$\alpha$，使$\sin \alpha = \frac{1}{2}$。

答案： （1）全称量词命题，真；（2）存在量词命题，假；（3）全称量词命题，假；（4）存在量词命题，真
解析：（1）自然数的2倍为偶数，加1为奇数；（2）分母不为0，无实根；（3）$a = 0$时，$|a| = 0$；（4）$\alpha = 30°$或$150°$等满足。

活学活用 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题。
（1）所有不等式的解集$A$，都满足$A \subseteq \mathbf{R}$。
（2）$\exists x \in \mathbf{R}, y \in \mathbf{R}, (x + y)(x - y) ＞ 0$。
（3）平面直角坐标系内任何一条直线都与$x$轴有交点。
（4）自然数的平方是正数。
（5）至少有一个数$x$，使$x^2 \leq 0$。

答案： （1）全称量词命题；（2）存在量词命题；（3）全称量词命题；（4）全称量词命题；（5）存在量词命题