《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例1 指出下列各题中，$p$是$q$的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）。
（1）$p: x - 3 = 0$，$q: (x - 2)(x - 3) = 0$。
（2）$p: -1 \leq x \leq 5$，$q: x \geq -1$且$x \leq 5$。
（3）$p: a$是自然数，$q: a$是正数。
（4）$p: |x| ＜ 2$，$q: -3 ＜ x ＜ 5$。

答案： （1）充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不充分也不必要条件；（4）充分不必要条件
解析：（1）$p \Rightarrow q$，$q Rightarrow p$（$x = 2$）；（2）$p$与$q$等价；（3）$a = 0$是自然数但不是正数，正数不一定是自然数；（4）$|x| ＜ 2 \Rightarrow -2 ＜ x ＜ 2 \subseteq (-3,5)$，充分不必要。

活学活用 求证：$\triangle ABC$是等边三角形的充要条件是$a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$。（这里$a, b, c$是$\triangle ABC$的三条边）

答案： 证明：充分性：$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \Rightarrow (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0 \Rightarrow a = b = c$，等边三角形。必要性：等边三角形$a = b = c \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 = 3a^2 = ab + bc + ca$。