《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

已知函数$f(x)=\begin{cases}x + 2,x\leq - 1\\2x,-1＜x＜2\frac{x^2}{2},x\geq2\end{cases}$
(1)求$f(-3)$，$f\left(f\left(\frac{3}{2}\right)\right)$的值。
(2)若$f(a)=2$，求$a$的值。

答案：
(1)$f(-3)=-1$，$f\left(f\left(\frac{3}{2}\right)\right)=\frac{9}{8}$
解析：$f(-3)=-3 + 2=-1$；$f\left(\frac{3}{2}\right)=2×\frac{3}{2}=3$，$f(3)=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}$，所以$f\left(f\left(\frac{3}{2}\right)\right)=\frac{9}{2}$。（注：原答案中“$\frac{9}{8}$”错误，修正为$\frac{9}{2}$）
(2)$a = 1$或$a = 2$
解析：当$a\leq - 1$时，$a + 2=2$，$a = 0$（舍去）；当$-1＜a＜2$时，$2a=2$，$a = 1$；当$a\geq2$时，$\frac{a^2}{2}=2$，$a^2 = 4$，$a = 2$，所以$a = 1$或$a = 2$。

已知函数$f(x)=-x^2 + 2$，$g(x)=x$，令$\varphi(x)=\min\{f(x),g(x)\}$（即$f(x)$和$g(x)$中的较小者）。
(1)分别用图象法和解析法表示$\varphi(x)$。
(2)求函数$\varphi(x)$的定义域与值域。

答案：
(1)解析法：$\varphi(x)=\begin{cases}-x^2 + 2,x\leq1\\x,x＞1\end{cases}$（注：需先求$f(x)=g(x)$的交点，$-x^2 + 2=x$，$x^2 + x - 2=0$，解得$x = 1$或$x=-2$，所以正确解析法应为$\varphi(x)=\begin{cases}x,x\leq - 2\\-x^2 + 2,-2＜x＜1\\x,x\geq1\end{cases}$）
图象法：略
(2)定义域$R$，值域$(-\infty,1]$
解析：由图象可知，$\varphi(x)$的定义域为$R$，最大值为$1$（在$x = 1$处），值域为$(-\infty,1]$。

（1）设函数$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x - 1,x\geq0\frac{1}{x},x＜0\end{cases}$若$f(a)=a$，则实数$a$的值是______。
（2）已知$f(x)=\begin{cases}x,x＞0\\f(x + 1),x\leq0\end{cases}$则$f(1)+f(-1)=$______。

答案： （1）$-1$
解析：当$a\geq0$时，$\frac{1}{2}a - 1=a$，解得$a=-2$（舍去）；当$a＜0$时，$\frac{1}{a}=a$，$a^2 = 1$，$a=-1$，所以$a=-1$。
（2）$2$
解析：$f(1)=1$；$f(-1)=f(0)=f(1)=1$，所以$f(1)+f(-1)=2$。

(2)已知$ f(x)=\begin{cases} x,x ＞ 0, \\ f(x + 1),x\leq 0 \end{cases}$则$ f(1) + f(-1)=$______.

答案： 2
解析：$f(1)=1$。因为$-1\leq0$，所以$f(-1)=f(0)$，又$0\leq0$，所以$f(0)=f(1)=1$，故$f(-1)=1$，则$f(1)+f(-1)=1 + 1=2$。