《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例2 (1)设集合$U = \{1,2,3,4,5\},A = \{2,4\},B = \{1,2,3\}$,则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A.$\{4\}$
B.$\{2,4\}$
C.$\{4,5\}$
D.$\{1,3,4\}$

答案： A
解析：阴影部分是$A$中不属于$B$的元素，$A = \{2,4\}$，$B = \{1,2,3\}$，所以阴影部分为$\{4\}$，答案选A。

(2)已知全集$U$，$M$，$N$是$U$的非空子集，且$\complement_U M\supseteq N$，则必有（ ）
A.$M\subseteq \complement_U N$
B.$M\supseteq \complement_U N$
C.$\complement_U M = \complement_U N$
D.$M = N$

答案： A
解析：因为$\complement_U M\supseteq N$，所以$N$中的元素都在$\complement_U M$中，即$N\cap M = \varnothing$，所以$M\subseteq \complement_U N$，答案选A。

活学活用：设$A$，$B$都是由不超过9的正整数组成的全集$U$的子集，且$A\cap B = \{2\}$，$(\complement_U A)\cap (\complement_U B) = \{1,9\}$，$(\complement_U A)\cap B = \{4,6,8\}$，求集合$A$和$B$。

答案： $A = \{2,3,5,7\}$，$B = \{2,4,6,8\}$
解析：$U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$。因为$A\cap B = \{2\}$，所以2是$A$和$B$的公共元素。$(\complement_U A)\cap B = \{4,6,8\}$，所以4，6，8属于$B$不属于$A$。$(\complement_U A)\cap (\complement_U B) = \{1,9\}$，所以1，9不属于$A$也不属于$B$。剩下的元素3，5，7属于$A$不属于$B$，故$A = \{2,3,5,7\}$，$B = \{2,4,6,8\}$。

例3 设$U = R$，已知集合$A = \{x|-5 ＜ x ＜ 5\},B = \{x|0 ≤ x ＜ 7\}$，求：
(1)$A\cup (\complement_U B)$。
(2)$B\cap (\complement_U A)$。
(3)$(\complement_U A)\cap (\complement_U B)$。

答案：
(1)$\{x|x ＜ 5 或 x ≥ 7\}$
解析：$\complement_U B = \{x|x ＜ 0 或 x ≥ 7\}$，$A\cup (\complement_U B) = \{x|-5 ＜ x ＜ 5 或 x ＜ 0 或 x ≥ 7\} = \{x|x ＜ 5 或 x ≥ 7\}$。
(2)$\{x|5 ≤ x ＜ 7\}$
解析：$\complement_U A = \{x|x ≤ -5 或 x ≥ 5\}$，$B\cap (\complement_U A) = \{x|5 ≤ x ＜ 7\}$。
(3)$\{x|x ≤ -5 或 x ≥ 7\}$
解析：$(\complement_U A)\cap (\complement_U B) = \{x|x ≤ -5 或 x ≥ 7\}$。

活学活用：(1)已知全集$U = R$，$A = \{x|x ≤ 0\},B = \{x|x ≥ 1\}$，则集合$\complement_U (A\cup B)=$（ ）
A.$\{x|x ≥ 0\}$
B.$\{x|x ≤ 1\}$
C.$\{x|0 ≤ x ≤ 1\}$
D.$\{x|0 ＜ x ＜ 1\}$

答案： D
解析：$A\cup B = \{x|x ≤ 0 或 x ≥ 1\}$，$\complement_U (A\cup B) = \{x|0 ＜ x ＜ 1\}$，答案选D。

(2)已知集合$S = \{x|1 ＜ x ≤ 7\},A = \{x|2 ≤ x ＜ 5\},B = \{x|3 ≤ x ＜ 7\}$，求：①$(\complement_S A)\cap (\complement_S B)$。②$\complement_S (A\cap B)$。

答案： ①$\{x|1 ＜ x ＜ 2 或 x = 7\}$
解析：$\complement_S A = \{x|1 ＜ x ＜ 2 或 5 ≤ x ≤ 7\}$，$\complement_S B = \{x|1 ＜ x ＜ 3 或 x = 7\}$，$(\complement_S A)\cap (\complement_S B) = \{x|1 ＜ x ＜ 2 或 x = 7\}$。
②$\{x|1 ＜ x ＜ 3 或 5 ≤ x ≤ 7\}$
解析：$A\cap B = \{x|3 ≤ x ＜ 5\}$，$\complement_S (A\cap B) = \{x|1 ＜ x ＜ 3 或 5 ≤ x ≤ 7\}$。