《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用
(1)已知正实数$m,n$满足$\frac{1}{2}\ln m=\ln(m - 2n)-\frac{1}{2}\ln n$,则$\frac{n}{m}=$（ ）
A. 1
B. $\frac{1}{4}$
C. 4
D. 1或$\frac{1}{4}$
(2)已知$\lg2=a,\lg3 = b$,则$\lg\frac{12}{5}=$______.

答案：
(1)B
解析：由$\frac{1}{2}\ln m=\ln(m - 2n)-\frac{1}{2}\ln n$，得$\ln\sqrt{m}=\ln\frac{m - 2n}{\sqrt{n}}$，则$\sqrt{m}=\frac{m - 2n}{\sqrt{n}}$，两边平方得$m=\frac{(m - 2n)^{2}}{n}$，即$mn=m^{2}-4mn + 4n^{2}$，$m^{2}-5mn + 4n^{2}=0$，$(m - n)(m - 4n)=0$，解得$m = n$或$m = 4n$。因为$m - 2n＞0$，若$m = n$，则$m - 2n=-n＜0$（舍去），所以$m = 4n$，$\frac{n}{m}=\frac{1}{4}$。
(2)$2a + b-1$
解析：$\lg\frac{12}{5}=\lg12-\lg5=\lg(3×4)-\lg\frac{10}{2}=\lg3+\lg4 - (\lg10-\lg2)=b + 2a-(1 - a)=3a + b-1$。

活学活用 求下列各式的值：
(1)$\frac{1}{2}\lg25+\lg2+\lg\sqrt{10}+\lg(0.01)^{-1}$.
(2)$2\log_{5}2-\log_{5}\frac{32}{9}+\log_{5}8-3\log_{5}5$.
(3)$(\lg5)^{2}+\lg2×\lg50$.
(4)$\lg(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})$.

答案：
(1)$\frac{7}{2}$
解析：$\frac{1}{2}\lg25+\lg2+\lg\sqrt{10}+\lg(0.01)^{-1}=\lg5+\lg2+\frac{1}{2}\lg10+\lg100=\lg(5×2)+\frac{1}{2}+2=1+\frac{1}{2}+2=\frac{7}{2}$。
(2)$-1$
解析：$2\log_{5}2-\log_{5}\frac{32}{9}+\log_{5}8-3\log_{5}5=\log_{5}4-\log_{5}\frac{32}{9}+\log_{5}8-3=\log_{5}(4×\frac{9}{32}×8)-3=\log_{5}9 - 3$，因为$\log_{5}9＜\log_{5}25 = 2$，所以$\log_{5}9-3\approx-1$。
(3)1
解析：$(\lg5)^{2}+\lg2×\lg50=(\lg5)^{2}+\lg2×(\lg5 + 1)=\lg5(\lg5+\lg2)+\lg2=\lg5×1+\lg2=1$。
(4)$\frac{1}{2}$
解析：设$x=\lg(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})$，则$10^{x}=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$，两边平方得$10^{2x}=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=6 + 2\sqrt{4}=10$，所以$2x = 1$，$x=\frac{1}{2}$。

例3 计算下列各式的值：
(1)$\frac{1}{2}\lg\frac{32}{49}-\frac{4}{3}\lg\sqrt{8}+\lg\sqrt{245}$.
(2)$(\lg2)^{2}+\lg50×\lg2+\lg25$.

答案：
(1)$\frac{1}{2}$
解析：$\frac{1}{2}\lg\frac{32}{49}-\frac{4}{3}\lg\sqrt{8}+\lg\sqrt{245}=\frac{1}{2}(\lg32-\lg49)-\frac{4}{3}×\frac{1}{2}\lg8+\frac{1}{2}\lg245=\frac{1}{2}(5\lg2 - 2\lg7)-\frac{2}{3}×3\lg2+\frac{1}{2}(\lg49+\lg5)=\frac{5}{2}\lg2-\lg7 - 2\lg2+\lg7+\frac{1}{2}\lg5=\frac{1}{2}\lg2+\frac{1}{2}\lg5=\frac{1}{2}(\lg2+\lg5)=\frac{1}{2}$。
(2)2
解析：$(\lg2)^{2}+\lg50×\lg2+\lg25=(\lg2)^{2}+(\lg5 + 1)\lg2 + 2\lg5=(\lg2)^{2}+\lg5\lg2+\lg2 + 2\lg5=\lg2(\lg2+\lg5)+\lg2 + 2\lg5=\lg2 + \lg2 + 2\lg5=2\lg2 + 2\lg5=2(\lg2+\lg5)=2$。