《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例2 已知函数$f(x)=\frac{x - 1}{x + 2}$。(1)求证：$f(x)$在$[3,5]$上单调递增。(2)求$f(x)$在$[3,5]$上的最大值和最小值。

答案：
(1)证明：任取$x_{1},x_{2}\in[3,5]$，且$x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{x_{1}-1}{x_{1}+2}-\frac{x_{2}-1}{x_{2}+2}=\frac{3(x_{1}-x_{2})}{(x_{1}+2)(x_{2}+2)}$。因为$x_{1}＜x_{2}$，所以$x_{1}-x_{2}＜0$，又$x_{1}+2＞0$，$x_{2}+2＞0$，所以$f(x_{1})-f(x_{2})＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$，所以$f(x)$在$[3,5]$上单调递增。
(2)最大值为$\frac{4}{7}$，最小值为$\frac{2}{5}$。
解析：由
(1)知$f(x)$在$[3,5]$上单调递增，所以$f(x)_{\min}=f(3)=\frac{3 - 1}{3 + 2}=\frac{2}{5}$，$f(x)_{\max}=f(5)=\frac{5 - 1}{5 + 2}=\frac{4}{7}$。

活学活用 已知函数$f(x)=\frac{6}{1 - x}+3(x\in[2,4])$，求函数$f(x)$的最大值和最小值。

答案： 最大值为$0$，最小值为$-3$。
解析：设$t = 1 - x$，$x\in[2,4]$，则$t\in[-3,-1]$，$f(x)=\frac{6}{t}+3$。因为$t\in[-3,-1]$时，$\frac{6}{t}$单调递减，所以$f(x)$在$[2,4]$上单调递增。$f(2)=\frac{6}{1 - 2}+3=-3$，$f(4)=\frac{6}{1 - 4}+3=0$，所以最大值为$0$，最小值为$-3$。

例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到有关生产销售的统计规律：每生产产品$x$（百台），其总成本为$G(x)$（万元），其中固定成本为$2.8$万元，并且每生产$1$百台的生产成本为$1$万元（总成本 = 固定成本 + 生产成本）。销售收入$R(x)$（万元）满足：$R(x)=\begin{cases}-0.4x^{2}+4.2x,0\leq x\leq5,x\in\mathbf{N}\\11,x ＞ 5,x\in\mathbf{N}\end{cases}$。假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），请根据上述统计规律，解答下列问题。(1)写出利润函数$y = f(x)$的解析式（利润 = 销售收入 - 总成本）。(2)工厂生产多少台产品时，利润最大？

答案：
(1)$f(x)=\begin{cases}-0.4x^{2}+3.2x - 2.8,0\leq x\leq5,x\in\mathbf{N}\\8.2 - x,x ＞ 5,x\in\mathbf{N}\end{cases}$
解析：总成本$G(x)=2.8 + x$，利润$f(x)=R(x)-G(x)$。当$0\leq x\leq5$时，$f(x)=-0.4x^{2}+4.2x-(x + 2.8)=-0.4x^{2}+3.2x - 2.8$；当$x ＞ 5$时，$f(x)=11-(x + 2.8)=8.2 - x$。
(2)生产$4$百台时利润最大。
解析：当$0\leq x\leq5$时，$f(x)=-0.4(x - 4)^{2}+3.6$，$x\in\mathbf{N}$，当$x = 4$时，$f(4)=3.6$；当$x ＞ 5$时，$f(x)=8.2 - x$单调递减，$f(6)=2.2＜3.6$。所以生产$4$百台时利润最大。