《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

一般地，设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果$\forall x\in D$，都有$-x\in D$，且______，那么函数$f(x)$就叫做偶函数；一般地，设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果$\forall x\in D$，都有$-x\in D$，且______，那么函数$f(x)$就叫做奇函数。

答案： $f(-x)=f(x)$；$f(-x)=-f(x)$

偶函数图象关于______对称；奇函数图象关于______对称。

答案： y轴；原点

例1 判断下列函数的奇偶性：(1)$f(x)=-|x|$。(2)$f(x)=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1 - x^{2}}$。(3)$f(x)=\frac{x}{x - 1}$。(4)$f(x)=x-\frac{1}{x}$。

答案：
(1)偶函数
解析：定义域为$\mathbf{R}$，$f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x)$，所以是偶函数。
(2)既是奇函数又是偶函数
解析：由$\begin{cases}x^{2}-1\geq0\\1 - x^{2}\geq0\end{cases}$得$x=\pm1$，定义域为$\{-1,1\}$，$f(-x)=f(x)=0$且$f(-x)=-f(x)=0$，所以既是奇函数又是偶函数。
(3)非奇非偶函数
解析：定义域为$\{x|xeq1\}$，不关于原点对称，所以非奇非偶函数。
(4)奇函数
解析：定义域为$\{x|xeq0\}$，$f(-x)=-x-\frac{1}{-x}=-(x-\frac{1}{x})=-f(x)$，所以是奇函数。