《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用 某物流公司购买了一块长$AM=30$米，宽$AN=20$米的矩形地块，计划把图中矩形$ABCD$建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点$C$在地块对角线$MN$上，$B,D$分别在边$AM,AN$上，假设$AB$的长度为$x$米.
(1)求矩形$ABCD$的面积$S$关于$x$的函数解析式.
(2)要使仓库$ABCD$的占地面积不少于144平方米，则$AB$的长度应在什么范围内？

答案：
(1)$S=-\frac{2}{3}x^2+20x$，$x\in(0,30)$
解析：直线$MN$的方程为$\frac{x}{30}+\frac{y}{20}=1$，点$C(x,y)$在$MN$上，故$y=20-\frac{2}{3}x$，面积$S=x\cdot y=-\frac{2}{3}x^2+20x$。
(2)$[6,24]$
解析：由$-\frac{2}{3}x^2+20x\geq144$，化简得$x^2-30x+216\leq0$，解得$6\leq x\leq24$。

例1 (1)若不等式$(a-2)\cdot x^{2}+4(a-2)x+3＞0$的解集为$\mathbb{R}$，则实数a的取值范围是________.
(2)若关于x的不等式$mx^{2}+2(m+1)x+9m+4＜0$的解集为$\mathbb{R}$，则实数m的取值范围是________.

答案：
(1)$(2,\frac{11}{4}]$
解析：当$a=2$时，$3＞0$恒成立；当$aeq2$时，需$\left\{\begin{array}{l}a-2＞0\\\Delta=16(a-2)^2-12(a-2)＜0\end{array}\right.$，解得$2＜a＜\frac{11}{4}$，综上$2\leq a＜\frac{11}{4}$。
(2)$(-\infty,-\frac{1}{2})$
解析：当$m=0$时，不等式为$2x+4＜0$，解集不为$\mathbb{R}$；当$meq0$时，需$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\\Delta=4(m+1)^2-4m(9m+4)＜0\end{array}\right.$，解得$m＜-\frac{1}{2}$。

例2 当$-2\leq x\leq2$时，不等式$x^{2}-mx+1＞0$恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A.$-2＜m＜2$
B.$m＜-2$
C.$-2\leq m\leq2$
D.$m＞2$

答案： A
解析：设$f(x)=x^2-mx+1$，对称轴为$x=\frac{m}{2}$。当$\frac{m}{2}＜-2$即$m＜-4$时，$f(-2)=5+2m＞0$，无解；当$-2\leq\frac{m}{2}\leq2$即$-4\leq m\leq4$时，$\Delta=m^2-4＜0$，解得$-2＜m＜2$；当$\frac{m}{2}＞2$即$m＞4$时，$f(2)=5-2m＞0$，无解，综上$-2＜m＜2$。