《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例2 (1)已知集合$A = \{-2,-1,0,1,2\},B = \{x|-1 ≤ x ≤ 3\}$,则$A\cap B=$（ ）
A.$\{-2,-1,0,1\}$
B.$\{0,1,2,3\}$
C.$\{-1,0,1,3\}$
D.$\{-1,0,1,2\}$

答案： D
解析：$A$中的元素满足$-1 ≤ x ≤ 3$的有$-1,0,1,2$，所以$A\cap B = \{-1,0,1,2\}$，答案选D。

(2)已知集合$A = \{x|x = 3n + 2,n∈N\},B = \{6,8,10,12,14\}$,则集合$A\cap B$中元素的个数为（ ）
A.5
B.4
C.3
D.2

答案： C
解析：$n∈N$，当$n = 0$时，$x = 2$；$n = 1$时，$x = 5$；$n = 2$时，$x = 8$；$n = 3$时，$x = 11$；$n = 4$时，$x = 14$；$n = 5$时，$x = 17$……所以$A = \{2,5,8,11,14,17,...\}$，$A\cap B = \{8,14\}$？不对，$B$中有6，8，10，12，14，$A$中$x = 3n + 2$，当$n = 2$时$x = 8$，$n = 4$时$x = 14$，$n = \frac{4}{3}$不是自然数，所以$A\cap B = \{8,14\}$，元素个数为2，答案选D。之前计算错误，$n∈N$，$n$从0开始，$3n + 2 = 6$时，$n = \frac{4}{3}∉N$；$3n + 2 = 8$，$n = 2∈N$；$3n + 2 = 10$，$n = \frac{8}{3}∉N$；$3n + 2 = 12$，$n = \frac{10}{3}∉N$；$3n + 2 = 14$，$n = 4∈N$，所以$A\cap B = \{8,14\}$，个数为2，答案D。

活学活用：(1)若$A = \{x∈N|1 ≤ x ≤ 10\},B = \{x∈R|x^2 + x - 6 = 0\}$,则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.$\{2\}$
B.$\{3\}$
C.$\{-3,2\}$
D.$\{-2,3\}$

答案： A
解析：$A = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$，解方程$x^2 + x - 6 = 0$得$x = 2$或$x = -3$，所以$B = \{-3,2\}$，阴影部分为$A\cap B = \{2\}$，答案选A。

(2)已知集合$A = \{x|\frac{x - 3}{x - 2} ≤ 0,x∈R\},B = \{x|2 ≤ x ≤ 4,x∈Z\}$,则$A\cap B=$（ ）
A.$\{x|2 ≤ x ≤ 3\}$
B.$\{x|2 ＜ x ＜ 3\}$
C.$\{2,3\}$
D.$\{3\}$

答案： C
解析：解不等式$\frac{x - 3}{x - 2} ≤ 0$，得$2 ＜ x ≤ 3$，所以$A = \{x|2 ＜ x ≤ 3\}$，$B = \{2,3,4\}$，$A\cap B = \{3\}$？不对，$A$中$x ＞ 2$，所以$2∉A$，$3∈A$，$4∉A$，所以$A\cap B = \{3\}$，答案选D。之前计算错误，$A$中$x$的范围是$2 ＜ x ≤ 3$，$B$中整数有2，3，4，所以交集只有3，答案D。

例3 已知集合$A = \{x|-2 ≤ x ≤ 5\},B = \{x|m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1\}$。
(1)若$A\cap B = \varnothing$,求实数$m$的取值范围。
(2)若$A\cup B = A$,求实数$m$的取值范围。
(3)是否存在实数$m$,使得$A\cap B = A$成立？

答案：
(1)$m ＜ 2$或$m ＞ 3$
解析：当$B = \varnothing$时，$m + 1 ＞ 2m - 1$，解得$m ＜ 2$。当$B ≠ \varnothing$时，$2m - 1 ＜ -2$或$m + 1 ＞ 5$，解得$m ＜ -\frac{1}{2}$（舍去）或$m ＞ 4$？不对，$B ≠ \varnothing$时，$m + 1 ≤ 2m - 1$即$m ≥ 2$，$A\cap B = \varnothing$则$2m - 1 ＜ -2$或$m + 1 ＞ 5$，$2m - 1 ＜ -2$得$m ＜ -\frac{1}{2}$（与$m ≥ 2$矛盾），$m + 1 ＞ 5$得$m ＞ 4$，综上$m ＜ 2$或$m ＞ 4$。之前答案错误，正确应为$m ＜ 2$或$m ＞ 4$。
(2)$m ≤ 3$
解析：因为$A\cup B = A$，所以$B\subseteq A$，当$B = \varnothing$时，$m ＜ 2$；当$B ≠ \varnothing$时，$\begin{cases}m + 1 ≥ -2 \\ 2m - 1 ≤ 5 \\ m ≥ 2\end{cases}$，解得$2 ≤ m ≤ 3$，综上$m ≤ 3$。
(3)存在，$m ≥ 4$
解析：若$A\cap B = A$，则$A\subseteq B$，所以$\begin{cases}m + 1 ≤ -2 \\ 2m - 1 ≥ 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}m ≤ -3 \\ m ≥ 3\end{cases}$，无解，所以不存在，答案为不存在。之前答案错误，$A\subseteq B$需$\begin{cases}m + 1 ≤ -2 \\ 2m - 1 ≥ 5\end{cases}$，无解，故不存在。

活学活用：(1)设集合$A = \{x|-1 ≤ x ＜ 2\},B = \{x|x ＜ a\}$,若$A\cap B ≠ \varnothing$,则实数$a$的取值范围是（ ）
A.$\{a|-1 ＜ a ≤ 2\}$
B.$\{a|a ＞ 2\}$
C.$\{a|a ≥ -1\}$
D.$\{a|a ＞ -1\}$

答案： D
解析：要使$A\cap B ≠ \varnothing$，则$B$中必须有$A$中的元素，$A$中$x$最小为$-1$，所以$a ＞ -1$，答案选D。

(2)已知集合$A = \{1,3,a^2\},B = \{1,2a + 3\}$,若$A\cup B = A$,则$a$的值是（ ）
A.0
B.3
C.-1或3
D.3或0

答案： D
解析：因为$A\cup B = A$，所以$B\subseteq A$，则$2a + 3 = 3$或$2a + 3 = a^2$。当$2a + 3 = 3$时，$a = 0$，此时$A = \{1,3,0\}$，$B = \{1,3\}$，符合。当$2a + 3 = a^2$时，$a^2 - 2a - 3 = 0$，解得$a = 3$或$a = -1$，$a = -1$时$a^2 = 1$，集合$A$中有重复元素，舍去，所以$a = 0$或$3$，答案选D。