《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

课时构建：全集的定义：一般地，如果一个集合含有所有研究问题中涉及的______，那么就称这个集合为全集。记法：全集通常记作______。补集的文字语言：对于一个集合$A$，由全集$U$中______的所有元素组成的集合称为集合$A$相对于全集$U$的补集，记作______。符号语言：$\complement_U A=$______。补集的性质：①$A\cup (\complement_U A) = U$，$A\cap (\complement_U A) = \varnothing$；②$\complement_U U = \varnothing$，$\complement_U \varnothing = U$。

答案： 全集的定义：所有元素；$U$。补集的文字语言：不属于$A$；$\complement_U A$。符号语言：$\{x|x∈U 且 x∉A\}$。

例1 (1)设集合$U = R,M = \{x|x ＜ -2 或 x ＞ 2\}$,则$\complement_U M=$（ ）
A.$\{x|-2 ≤ x ≤ 2\}$
B.$\{x|-2 ＜ x ＜ 2\}$
C.$\{x|x ＜ -2 或 x ＞ 2\}$
D.$\{x|x ≤ -2 或 x ≥ 2\}$

答案： A
解析：$\complement_U M$是在$U = R$中不属于$M$的元素，即$-2 ≤ x ≤ 2$，答案选A。

(2)已知集合$A = \{x|x$是菱形或矩形$\},B = \{x|x$是矩形$\}$,则$\complement_A B=$（ ）
A.$\{x|x$是菱形$\}$
B.$\{x|x$是内角都不是直角的菱形$\}$
C.$\{x|x$是正方形$\}$
D.$\{x|x$是邻边都不相等的矩形$\}$

答案： B
解析：$A$中元素是菱形或矩形，$B$是矩形，所以$\complement_A B$是菱形但不是矩形，即内角都不是直角的菱形，答案选B。

活学活用：若集合$A = \{x|-3 ≤ x ＜ 1\}$,当$U$分别取下列集合时，求$\complement_U A$。
(1)$U = R$。
(2)$U = \{x|x ≤ 5\}$。
(3)$U = \{x|-5 ≤ x ≤ 1\}$。

答案：
(1)$\{x|x ＜ -3 或 x ≥ 1\}$
解析：在$R$中，不属于$A$的元素为$x ＜ -3$或$x ≥ 1$。
(2)$\{x|x ＜ -3 或 1 ≤ x ≤ 5\}$
解析：在$U = \{x|x ≤ 5\}$中，不属于$A$的元素为$x ＜ -3$或$1 ≤ x ≤ 5$。
(3)$\{x|-5 ≤ x ＜ -3 或 x = 1\}$
解析：在$U = \{x|-5 ≤ x ≤ 1\}$中，不属于$A$的元素为$-5 ≤ x ＜ -3$或$x = 1$。