《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

例3 已知$x＞0$，$y＞0$，$x + 3y + xy = 9$，则$x + 3y$的最小值为______。

答案： 6
解析：设$x + 3y = t$，则$xy=9 - t$，由$x + 3y\geqslant2\sqrt{3xy}$得$t\geqslant2\sqrt{3(9 - t)}$，平方得$t^2 + 12t - 108\geqslant0$，解得$t\geqslant6$，当$x = 3$，$y = 1$时取等号。

例4 若$a$，$b\in\mathbf{R}$，$ab＞0$，则$\frac{a^4 + 4b^4 + 1}{ab}$的最小值为______。

答案： 4
解析：$\frac{a^4 + 4b^4 + 1}{ab}\geqslant\frac{4a^2b^2 + 1}{ab}=4ab+\frac{1}{ab}\geqslant2\sqrt{4ab\cdot\frac{1}{ab}}=4$，当且仅当$a^2 = 2b^2$，$4ab=\frac{1}{ab}$时取等号。

(1)概念：一般地，我们把只含有______未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式。(2)一般形式：①$ax^2 + bx + c＞0$（$a$，$b$，$c$均为常数，$aeq0$）；②$ax^2 + bx + c\geqslant0$（$a$，$b$，$c$均为常数，$aeq0$）；③$ax^2 + bx + c＜0$（$a$，$b$，$c$均为常数，$aeq0$）；④$ax^2 + bx + c\leqslant0$（$a$，$b$，$c$均为常数，$aeq0$）。(3)解集：一般地，使某个一元二次不等式______的$x$的______叫做这个不等式的解，一元二次不等式的______组成的集合叫做这个一元二次不等式的______。

答案：
(1)一个；2；
(3)成立；值；所有解；解集

填写表格：当$a＞0$时，$ax^2 + bx + c＞0$和$ax^2 + bx + c＜0$的解集。

答案： （表格内容）当$\Delta＞0$时，$ax^2 + bx + c＞0$解集为$(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$，$ax^2 + bx + c＜0$解集为$(x_1,x_2)$；当$\Delta = 0$时，$ax^2 + bx + c＞0$解集为$(-\infty,x_1)\cup(x_1,+\infty)$，$ax^2 + bx + c＜0$解集为$\varnothing$；当$\Delta＜0$时，$ax^2 + bx + c＞0$解集为$\mathbf{R}$，$ax^2 + bx + c＜0$解集为$\varnothing$。