《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

迁移探究 求³√2的近似值.(精确度为0.01)

答案： 1.26
解析：设x=³√2，则x³=2，令f(x)=x³-2，f
(1)=1-2=-1＜0，f
(2)=8-2=6＞0，初始区间(1,2)。
中点c=1.5，f(1.5)=3.375-2=1.375＞0，新区间(1,1.5)。
中点c=1.25，f(1.25)=1.953125-2=-0.046875＜0，新区间(1.25,1.5)。
中点c=1.375，f(1.375)=2.599609375-2=0.599609375＞0，新区间(1.25,1.375)。
中点c=1.3125，f(1.3125)=2.25146484375-2=0.25146484375＞0，新区间(1.25,1.3125)。
中点c=1.28125，f(1.28125)=2.100341796875-2=0.100341796875＞0，新区间(1.25,1.28125)。
中点c=1.265625，f(1.265625)=2.02508544921875-2=0.02508544921875＞0，新区间(1.25,1.265625)。
中点c=1.2578125，f(1.2578125)=1.98828125-2=-0.01171875＜0，新区间(1.2578125,1.265625)。
|1.265625-1.2578125|=0.0078125＜0.01，近似值为1.26。

活学活用 证明函数f(x)=2ˣ+3x-6在区间(1,2)内有唯一一个零点,并求出这个零点.(精确度为0.1)

答案： 1.2
解析：证明：f(x)=2ˣ+3x-6在R上连续，f
(1)=2+3-6=-1＜0，f
(2)=4+6-6=4＞0，f
(1)·f
(2)＜0，由零点存在定理知在(1,2)内有零点。又f'(x)=2ˣln 2+3＞0，f(x)单调递增，故唯一零点。
求解：初始区间(1,2)，中点c=1.5，f(1.5)=2.83+4.5-6=1.33＞0，新区间(1,1.5)。
中点c=1.25，f(1.25)=2.38+3.75-6=0.13＞0，新区间(1,1.25)。
中点c=1.125，f(1.125)=2.18+3.375-6=-0.445＜0，新区间(1.125,1.25)。
|1.25-1.125|=0.125＞0.1，中点c=1.1875，f(1.1875)≈2.27+3.5625-6=-0.1675＜0，新区间(1.1875,1.25)。
|1.25-1.1875|=0.0625＜0.1，近似零点为1.2。

例4 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线发生故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找,困难很多,每查找一个点就要爬一次电线杆,这条线路有200多根电线杆呢！想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理.

答案： 采用二分法，每次取线路中点检测，逐步缩小故障范围，可迅速定位故障点。
解析：将10km线路视为区间[0,10]，中点5km处检测，若故障在[0,5]，则取2.5km处检测，反之取7.5km处，重复操作，每次将区间长度减半，直至找到故障点。