《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用 (1)将-1845°改写成2kπ+α(0≤α＜2π,k∈Z)的形式是（ ）
A. -10π+7π/4
B. -10π-π/4
C. -12π+7π/4
D. -12π+π/4

答案： C
解析：$-1845°=-5×360°-45°=-5×2π-\frac{π}{4}=-10π-\frac{π}{4}=-12π+\frac{7π}{4}，$所以选C。

活学活用 (2)若角θ的终边与6π/7角的终边相同，求在[0，2π)内终边与角θ/3的终边相同的角.

答案： $\frac{2π}{7},\frac{20π}{21},\frac{34π}{21}$
解析：$θ=\frac{6π}{7}+2kπ(k∈Z)，$则$\frac{θ}{3}=\frac{2π}{7}+\frac{2kπ}{3}。$令$0≤\frac{2π}{7}+\frac{2kπ}{3}＜2π，$解得$-\frac{3}{7}≤k＜\frac{18}{7}，$k=0时，$\frac{θ}{3}=\frac{2π}{7}；$k=1时，$\frac{θ}{3}=\frac{20π}{21}；$k=2时，$\frac{θ}{3}=\frac{34π}{21}。$

例4 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α=60°,R=10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

答案： $(1)\frac{10π}{3}cm$
解析：$α=60°=\frac{π}{3}，$$l=αR=\frac{π}{3}×10=\frac{10π}{3}cm。$
(2)2弧度
解析：周长C=2R+l=20，l=20-2R，面积$S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}(20-2R)R=10R-R²=-(R-5)²+25，$当R=5时，S最大，此时l=10，$α=\frac{l}{R}=2$弧度。

活学活用 已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π/3.求：
(1)这个圆心角所对的弧长.
(2)这个扇形的面积.

答案： $(1)\frac{2π}{3}$
解析：设半径为r，由弦长公式$2=2r sin\frac{π}{3}，$得$r=\frac{1}{sin\frac{π}{3}}=\frac{2√3}{3}，$弧长$l=αr=\frac{2π}{3}×\frac{2√3}{3}=\frac{4√3π}{9}（$此处原解析有误，修正为）由弦长为2，圆心角为$\frac{2π}{3}，$可得$r=\frac{1}{sin\frac{π}{3}}=\frac{2√3}{3}，$弧长$l=αr=\frac{2π}{3}×\frac{2√3}{3}=\frac{4√3π}{9}。$
$(2)\frac{2√3π}{9}$
解析：面积$S=\frac{1}{2}αr²=\frac{1}{2}×\frac{2π}{3}×(\frac{2√3}{3})²=\frac{2√3π}{9}。$