《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

写出下列全称量词命题的否定.
(1)所有能被2整除的整数都是偶数.
(2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上.
(3)$\forall x\in \mathbf{R},5x-12=0.$

答案：
(1)存在一个能被2整除的整数不是偶数；
(2)存在一个三角形的三个顶点不在同一个圆上；
(3)$\exists x\in \mathbf{R},5x - 12eq 0$
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，将全称量词改为存在量词，并否定结论。
(1)原命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数。
(2)原命题的否定：存在一个三角形的三个顶点不在同一个圆上。
(3)原命题的否定：$\exists x\in \mathbf{R},5x - 12eq 0$。

写出下列全称量词命题的否定,并判断其真假.
(1)$p$:所有自然数的平方都是正数.
(2)$q$:任何实数$x$都是方程$5x - 12=0$的根.
(3)$r$:对任意实数$x$,$x^{2}+1\geqslant 0.$

答案：
(1)存在一个自然数的平方不是正数，真命题；
(2)存在一个实数$x$不是方程$5x - 12=0$的根，真命题；
(3)存在一个实数$x$，使得$x^{2}+1 ＜ 0$，假命题
解析：
(1)命题$p$的否定：存在一个自然数的平方不是正数。因为$0$是自然数，$0$的平方是$0$，不是正数，所以该否定是真命题。
(2)命题$q$的否定：存在一个实数$x$不是方程$5x - 12=0$的根。因为方程$5x - 12=0$的根是$x=\dfrac{12}{5}$，其他实数都不是该方程的根，所以该否定是真命题。
(3)命题$r$的否定：存在一个实数$x$，使得$x^{2}+1 ＜ 0$。因为对任意实数$x$，$x^{2}\geqslant 0$，所以$x^{2}+1\geqslant 1 ＞ 0$，该否定是假命题。