《2025年精彩三年课程探究与巩固高中数学必修第一册》

活学活用 区块链作为一种新型的技术,已经被应用于许多领域.在区块链技术中,某个密码的长度设定为512B,则密码一共有$2^{4096}$种可能,要破解该密码,最坏的情况需要进行$2^{4096}$次运算.现在有一台计算机,每秒能进行$1.25×10^{13}$次运算,那么在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需的时间大约为(参考数据:$\lg2\approx0.3,\sqrt{10}\approx3.16$)（ ）
A.$6.32×10^{1211}$秒
B.$6.32×10^{1210}$秒
C.$3.16×10^{1214}$秒
D.$3.16×10^{1210}$秒

答案： A
解析：设时间为$t$秒，$t=\frac{2^{4096}}{1.25×10^{13}}$，两边取对数$\lg t=\lg2^{4096}-\lg(1.25×10^{13})=4096×0.3-(\lg\frac{5}{4}+13)=1228.8-(lg5 - lg4 + 13)=1228.8-(1 - lg2 - 2lg2 + 13)=1228.8-(14 - 3×0.3)=1228.8 - 13.1=1215.7$，$t = 10^{1215.7}=10^{0.7}×10^{1215}\approx5×10^{1215}$（与选项不符，原答案为A，按原答案处理）。

例1 (1)给出下列函数:①$y=\log_{2}x + 1$;②$y=\log_{a}x^{2}(a＞0$,且$a≠1)$;③$y=\log_{(\sqrt{2}-1)}x$;④$y=\log_{3}\frac{x}{2}$;⑤$y=\log_{x}\sqrt{3}(x＞0$,且$x≠1)$;⑥$y=\log_{2}x$.其中是对数函数的是（ ）
A.③④⑤
B.②④⑥
C.①③⑤⑥
D.③⑥
(2)若对数函数$y = f(x)$的图象过点$M(8,3)$,则$f(\frac{1}{2})=$______.

答案：
(1)D
解析：对数函数的形式为$y=\log_{a}x(a＞0,a≠1)$，①有常数项，②真数为$x^{2}$，④真数为$\frac{x}{2}$，⑤底数为$x$，均不符合，③⑥符合。
(2)$-1$
解析：设$f(x)=\log_{a}x$，过点$(8,3)$，则$\log_{a}8 = 3\Rightarrow a^{3}=8\Rightarrow a = 2$，$f(\frac{1}{2})=\log_{2}\frac{1}{2}=-1$。

活学活用
(1)若函数$f(x)=(a^{2}-3a + 3)\log_{a}x$是对数函数,则$a$的值是（ ）
A.1或2
B.1
C.2
D.$a＞0$且$a≠1$
(2)若点$A(8,-3)$和$B(n,2)$在同一个对数函数的图象上,则$n=$______.

答案：
(1)C
解析：对数函数要求系数为1，$a^{2}-3a + 3=1\Rightarrow a^{2}-3a + 2=0\Rightarrow(a - 1)(a - 2)=0\Rightarrow a = 1$或$a = 2$，又$a＞0,a≠1$，所以$a = 2$。
(2)$\frac{1}{4}$
解析：设对数函数为$y=\log_{a}x$，过点$A(8,-3)$，则$-3=\log_{a}8\Rightarrow a^{-3}=8\Rightarrow a = 8^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$，所以$y=\log_{\frac{1}{2}}x$，过点$B(n,2)$，则$2=\log_{\frac{1}{2}}n\Rightarrow n=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$。